北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87空間向量及其運(yùn)算(編輯修改稿)
2024-12-24 18:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 OA→＋13OB→＋23OC→ [ 思路分析 ] 應(yīng)用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算把未知向量用已知向量表示． [ 規(guī)范解答 ] OG→＝ OM→＋ MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23( ON→－ OM→) ＝12OA→＋23(OB→＋ OC→2－OA→2) ＝16OA→＋13OB→＋13OC→. [ 答案 ] C [ 方法總結(jié) ] 空間向量的概念及運(yùn)算是由平面向量延伸而來(lái)的，要用類(lèi)比的思想去掌握．在空間向量的加、減、數(shù)乘等線(xiàn)性運(yùn)算中，要選擇適當(dāng)?shù)南蛄繛榛?，用基向量表示出相關(guān)向量后再進(jìn)行向量的運(yùn)算，同時(shí)還要以相應(yīng)的圖形為指導(dǎo)． 已知 O 是空間中任意一點(diǎn) ， A ， B ， C ， D 四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，且 OA→＝ 2 x BO→＋ 3 y CO→＋ 4 z DO→，則2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ ________ . [ 答案 ] － 1 [ 解析 ] ∵ A ， B ， C ， D 四點(diǎn)共面， ∴ OA→＝ m OB→＋ n OC→＋ p OD→， 且 m ＋ n ＋ p ＝ 1. 由條件知 OA→＝ ( － 2 x ) OB→＋ ( － 3 y ) OC→＋ ( － 4 z ) OD→， ∴ ( － 2 x ) ＋ ( － 3 y ) ＋ ( － 4 z ) ＝ 1. ∴ 2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝－ 1. 共線(xiàn)、共面向量定理的應(yīng)用 已知 E 、 F 、 G 、 H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點(diǎn)． ( 1) 求證： E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面； ( 2) 求證： BD ∥ 平面 EF GH ； ( 3) 設(shè) M 是 EG 和 FH 的交點(diǎn)， 求證：對(duì)空間任一點(diǎn) O ，有 OM→＝14( OA→＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 思路分析 ] 對(duì)于 ( 1) 只要證明向量 EG→可由向量 EF→和 EH→表示即可，對(duì)于 ( 2) 只要證明 BD 平行于平面內(nèi)的一條直線(xiàn)即可，對(duì)于 ( 3) 由于四邊形 EF GH 為平行四邊形，所以 M 為 EG與 FH 的中點(diǎn)，于是向量 OM→可由向量 OG→和 OE→表示，再將 OG→與 OE→用 OC→， OD→和 OA→， OB→表示． [ 規(guī)范解答 ] (1) 連接 BG ，則 EG→＝ EB→＋ BG→＝ EB→＋12( BC→＋BD→) ＝ EB→＋ BF→＋ EH→＝ EF→＋ EH→， 由共面向量定理的推論知： E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面． (2) 因?yàn)?EH→＝ AH→－ AE→＝12AD→－12AB→＝12( AD→－ AB→) ＝12BD→， 所以 EH ∥ BD ， 又 EH 平面 E FGH ， BD 平面 EFG H . 所以 BD ∥ 平面 EFG H . (3) 連接 OM ， OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OG . 由 (2) 知 EH→＝12BD→， 同理 FG→＝12BD→， 所以 EH→＝ FG→， EH 綊 FG ， 所以 EG ， FH 交于一點(diǎn) M 且被 M 平分． 故 OM→＝12( OE→＋ OG→) ＝12OE→＋12OG→ ＝12????????12? OA→＋ OB→? ＋12????????12? OC→＋ OD→? ＝14( OA→＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 方法總結(jié) ] 在求一個(gè)向量由其他向量來(lái)表示的時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則，平行四邊形法則和共線(xiàn)向量的特點(diǎn)．如把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解．若要證明兩直線(xiàn)平行，只需判定兩直線(xiàn)所在的向量滿(mǎn)足線(xiàn)性 a ＝ λ b 關(guān)系．即可判定兩直線(xiàn)平行， 如第 ( 1) ( 2) 問(wèn)即是如此． 已知兩個(gè)非零向量 e1， e2不共線(xiàn)，如果 AB→＝ e1＋ e2， AC→＝2 e1＋ 8 e2， AD→＝ 3 e1－ 3 e2. 求證： AB→、 AC→、 AD→共面． [ 解析 ] 假設(shè)存在實(shí)數(shù) x ， y ， 使得 AD→＝ x A
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