【文章內(nèi)容簡介】 [ 解析 ] ( 1) ( 配方法 ) ：由 3 ＋ 2 x － x2≥ 0 ，得－ 1 ≤ x ≤ 3. ∵ y ＝ 4 － － ? x － 1 ?2＋ 4 ， ∴ 當 x ＝ 1 時， ym in＝ 2. 當 x ＝－ 1 或 3 時， ym ax＝ 4. ∴ 函數(shù)值 域為 [ 2,4 ] ( 2) ( 換元法 ) ：令 t ＝ 1 － 2 x ( t ≥ 0) ，則 x ＝1 － t22， ∴ y ＝－ t2＋ t ＋ 1 ＝－ ( t －12)2＋54( t ≥ 0) ， ∵ 當 t ＝12即 x ＝38時， ym ax＝54，無最小值． ∴ 函數(shù)值域為 ( － ∞ ，54] ． ( 3) ( 分離常數(shù)法 ) ∵ y ＝x2x2＋ 1＝? x2＋ 1 ? － 1x2＋ 1 ＝ 1 －1x2＋ 1， 又 ∵ x2＋ 1 ≥ 1 ， ∴ 01x2＋ 1≤ 1. ∴ 0 ≤ 1 －1x2＋ 11 ， 即函數(shù) y ＝x2x2＋ 1的值域為 [ 0,1) ． ( 理 ) 求下列函數(shù)的值域． ( 1) y ＝ 4 － 3 ＋ 2 x － x2； ( 2) y ＝ x ＋4x； ( 3) y ＝1 － 2x1 ＋ 2x ； ( 4) y ＝2 － sin x2 ＋ sin x. [ 解析 ] (1) ( 配方法 ) ：由 3 ＋ 2 x － x2≥ 0 ，得－ 1 ≤ x ≤ 3. ∵ y ＝ 4 － － ? x － 1 ?2＋ 4 ， ∴ 當 x ＝ 1 時， ym in＝ 2. 當 x ＝－ 1 或 3 時， ym ax＝ 4. ∴ 函數(shù)值域為 [ 2,4 ] ． (2) ∵ 函數(shù) y ＝ x ＋4x是定義域為 { x | x ≠ 0} 上的奇函數(shù)，故其圖像關(guān)于原點對稱，故只討論 x 0 時，即可知 x 0 時的最值和值域． ∵ 當 x 0 時， y ＝ x ＋4x≥ 2 x 4x＝ 4 ， 當且僅當 x ＝ 2 時，等號成立， ∴ 當 x 0 時， y ≤ － 4. 綜上，函數(shù)的值域為 ( － ∞ ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ) ． ( 3) 解法 1 ： ( 分離常數(shù)法 ) ： f ( x ) ＝1 － 2x1 ＋ 2x＝21 ＋ 2x－ 1 ，因為 1 ＋ 2x＞ 1,0 ＜21 ＋ 2x＜ 2 ，所以－ 1 ＜21 ＋ 2x－ 1 ＜ 1 ，故所求值域為 ( － 1,1) ． 解法 2 ： ( 利用反函數(shù)法 ) ： 由 y ＝1 － 2x1 ＋ 2x得 2x＝1 － y1 ＋ y＞ 0 ，所以 y ∈ ( － 1,1) ． (4) ( 利用三角函數(shù)有界性 ) 由 y ＝2 － sin x2 ＋ sin x， 解得 sin x ＝－ 2 y ＋ 2y ＋ 1， ∵ － 1 ≤ sin x ≤ 1 ， ∴ － 1 ≤－ 2 y ＋ 2y ＋ 1≤ 1. 由－ 2 y ＋ 2y ＋ 1≤ 1 得 y － 1 或 y ≥13， 由－ 2 y ＋ 2y ＋ 1≥ － 1 得，－ 1 y ≤ 3 ， ∴ 所求函數(shù)值域為 [13 ,3] ． ( 你會用分離常數(shù)求解嗎？ ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ( 文 ) 求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1) f ( x ) ＝ | x2－ 4 x ＋ 3| ； (2) f ( x ) ＝ lo g2( x2－ 1) ． [ 思路分析 ] 注意 (1) 函數(shù)含有絕對值，故可將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)并作出圖像求解； (2) 中的函數(shù)為函數(shù) y ＝ log2u ， u ＝ x2－ 1 的復合函數(shù)，要注意其定義域． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 先作出函數(shù) y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 的圖像，由于絕對值的作用，把 x 軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù)的圖像．如圖 ( 1) 所示． 由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為 [ 1,2] ， (3 ，＋ ∞ ) ， 減區(qū)間為 ( － ∞ ， 1) ， ( 2 ,3] ． ( 2) 函數(shù)的定義域為 x2－ 1 0 ， 即 { x | x 1 或 x － 1} ． 令 u ( x ) ＝ x2－ 1 ，圖像如圖 ( 2) 所示． 由圖像可知， u ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1) 上是減函數(shù)，在 (1 ，＋ ∞ )上是增函數(shù)． 而 f ( u ) ＝ log2u 是增函數(shù)． 故 f ( x ) ＝ log2( x2－ 1) 的單調(diào)增區(qū)間是 (1 ，＋ ∞ ) ， 單調(diào)減區(qū)間是 ( － ∞ ，－ 1) ． ( 理 ) 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性． ( 1) y ＝ a 1 － x2( a 0 ，且 a ≠ 1) ； ( 2) y ＝ lo g 12 ( 4 x － x2) ． [ 思路分析 ] 利用復合函數(shù)的判別方法判斷該類題目． ( 1) 的復合關(guān)系為 y ＝ at， t ＝ 1 － x2； ( 2) 的復合關(guān)系為 y ＝ lo g 12 t ， t ＝ 4 x － x2. [ 規(guī)范解答 ] (1) 令 t ＝ 1 － x2，則 t ＝ 1 － x2的遞減區(qū)間是 [0 ，＋ ∞ ) ，遞增區(qū)間是 ( － ∞ ， 0] ． 又當 a 1 時， y ＝ at在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)； 當 0 a 1 時， y ＝ at在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)． ∴ 當 a 1 時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 [0 ，＋ ∞ ) ，單調(diào)增區(qū)間是 ( － ∞ ， 0] ； 當 0 a 1 時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 ( － ∞ ， 0] ，單調(diào)增區(qū)間是 [0 ，＋ ∞ ) ． ( 2) 由 4 x － x20 ，得函數(shù)的定義域是 ( 0,4) ． 令 t ＝ 4 x － x2， ∵ t ＝ 4 x － x2＝－ ( x － 2)2＋ 4 ， ∴ t ＝ 4 x － x2的遞減區(qū)間是 [ 2,4) ，遞增區(qū)間是 ( 0,2] ． 又 y ＝ log 12 t 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)， ∴ 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 ( 0,2] ，單調(diào)增區(qū)間是 [ 2, 4) ． [ 方法總結(jié) ] ( 1 ) 復合函數(shù) y ＝ f [ g ( x )] 的單調(diào)規(guī)律是 “ 同則增，異則減 ” ，即 f ( u ) 與 u ＝ g ( x ) 若具有相同的單調(diào)性，則 f [ g ( x )]為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則 f [ g ( x )] 必為減函數(shù)．討論復合函數(shù)單調(diào)性的步驟是： ① 求出復合函數(shù)的定義域； ② 把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，并判定其單調(diào)性； ③ 把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍； ④ 根據(jù)上述復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判定其單調(diào)性． ( 2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ( 即判斷函數(shù)的單調(diào)性 ) ，一般有以下幾種方法： ① 圖像法． ② 定義法． ③ 利用已知函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù) y ＝ x 與 y ＝1x的單調(diào)性( 一增一減 ) 等． ④ 利用導數(shù)：設(shè)函數(shù) y ＝ f ( x ) 在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果 f ′ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 為增函數(shù)；如果 f ′ ( x ) 0 ，則 f ( x ) 為減函數(shù)． ⑤ 如果函數(shù)的解析式中含有參數(shù) ( 字母 ) ，往 往需要考慮分類討論的思想方法． ( 文 ) 求函數(shù) y ＝ lo g13 ( x2－ 4 x ＋ 3) 的單調(diào)區(qū)間． [ 解析 ] 令 u ＝ x2－ 4 x ＋ 3 ，原函數(shù)可以看作 y ＝ log 13 u 與 u＝ x2－