北師大版高考數(shù)學一輪總復習33定積分與微積分基本定理(編輯修改稿)
2024-12-24 18:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 后解出 a 的值； (2) 將 f ( x ) ≤ kx2轉(zhuǎn)化為 f ( x ) － kx2≤ 0 ，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求最值，從而求出 k 的最小值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) f ( x ) 的定義域為 ( － a ，＋ ∞ ) ． f ′ ( x ) ＝ 1 －1x ＋ a＝x ＋ a － 1x ＋ a. 由 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1 － a － a . 當 x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － a, 1 － a ) 1 － a (1 － a ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ↘ 極小值 因此， f ( x ) 在 x ＝ 1 － a 處取得最小值， 故由題意 f (1 － a ) ＝ 1 － a ＝ 0 ，所以 a ＝ 1. (2) 當 k ≤ 0 時，取 x ＝ 1 ，有 f (1) ＝ 1 － ln20 ， 故 k ≤ 0 不合題意． 當 k 0 時，令 g ( x ) ＝ f ( x ) － kx2， 即 g ( x ) ＝ x － ln( x ＋ 1) － kx2. g ′ ( x ) ＝xx ＋ 1－ 2 kx ＝－ x [2 kx － ? 1 － 2 k ? ]x ＋ 1. 令 g ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝ 0 ， x2＝1 － 2 k2 k － 1. ① 當 k ≥12時，1 － 2 k2 k≤ 0 ， g ′ ( x ) 0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒成立，因此 g ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞減． 從而對于任意的 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，總有 g ( x ) ≤ g ( 0) ＝ 0 ， 即 f ( x ) ≤ kx2在 [0 ，＋ ∞ ) 上恒成立． 故 k ≥12符合題意． ② 當 0 k 12時，1 － 2 k2 k0 ，對于 x ∈ (0 ，1 － 2 k2 k) ， g ′ ( x ) 在 (0 ，1 － 2 k2 k) 內(nèi)單調(diào)遞增． 因此當取 x0∈ (0 ，1 － 2 k2 k) 時， g ( x0) g (0) ＝ 0 ， 即 f ( x0) ≤ kx20不成立．故 0 k 12不合題意． 綜上， k 的最小值為12. [ 方法總結(jié) ] ( 1) 導數(shù)法是求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)等問題的有效方法，應用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間關鍵是求解不等式的解集；最值問題關鍵在于比較極值與端點函數(shù)值的大?。粎?shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調(diào)性的逆向應用等，求解時注意分類討論思想的應用． ( 2) 對于一些復雜問題，要善于將問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成 能用熟知的導數(shù)研究問題． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ln x －ax， ( 1) 若 a 0 ，試判斷 f ( x ) 在定義域內(nèi)的單調(diào)性； ( 2) 若 f ( x ) x2在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，求 a 的取值范圍． [ 解析 ] ( 1) 由題意 f ( x ) 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ，且 f ′ ( x ) ＝1x＋ax2 ＝x ＋ ax2 . ∵ a 0 ， ∴ f ′ ( x ) 0 ， 故 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是單調(diào)遞增函數(shù)． ( 2) ∵ f ( x ) x2， ∴ ln x －ax x2. 又 x 0 ， ∴ a x ln x － x3. 令 g ( x ) ＝ x ln x － x3， h ( x ) ＝ g ′ ( x ) ＝ 1 ＋ ln x － 3 x2， h ′ ( x ) ＝1x－ 6 x ＝1 － 6 x2x. ∵ x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 時， h ′ ( x ) 0 ， ∴ h ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)． ∴ h ( x ) h ( 1) ＝－ 2 0 ， 即 g ′ ( x ) 0 ， ∴ g ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上也是減函數(shù)． g ( x ) g ( 1) ＝－ 1 ， ∴ 當 a ≥ － 1 時， f ( x ) x2在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立． [ 點評 ] 在已知函數(shù) f ( x ) 是增函數(shù) ( 或減函數(shù) ) 求參數(shù)的范圍時，可令 f ′ ( x ) ≥ 0[ 或 f ′ ( x ) ≤ 0] 恒成立，解出參數(shù)的范圍，然后再檢驗該參數(shù)的端點值能否使 f ′ ( x ) ＝ 0 恒成立，若能成立，則去掉參數(shù)的該值；若不能使 f ′ ( x ) ＝ 0 恒成立，則參數(shù)的范圍即為所求．也可由 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立，從中分離出要求的參數(shù)，再進一步通過求最值確定參數(shù)的范圍 . 運用導數(shù)證明不等式問題 設 a 為實數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R . (1) 求 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間與極值； (2) 求證：當 a ln2 － 1 且 x 0 時， ex x2－ 2 ax ＋ 1. [ 思路分析 ] (1) 求單調(diào)區(qū)間與極值可利用 f ( x ) 與 f ′ ( x ) 的關系求解； (2) 可構(gòu)造函數(shù) g ( x ) ＝ ex－ x2＋ 2 ax － 1 ，通過研究 g ( x )的性質(zhì)進行證明． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 解：由 f ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R 知 f ′ ( x )＝ ex－ 2 ， x ∈ R . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，
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