北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)93圓的方程(編輯修改稿)
2024-12-25 04:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 6 － a ?2＋ ? 5 － b ?2＝ r2? 0 － a ?2＋ ? 1 － b ?2＝ r23 a ＋ 10 b ＋ 9 ＝ 0，解得????? a ＝ 7 ，b ＝－ 3 ，r ＝ 65 . 所以所求圓的方程為 ( x － 7)2＋ ( y ＋ 3)2＝ 65. ( 2) 設(shè)圓的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0. 將 P 、 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得 ????? 2 D － 4 E － F ＝ 203 D － E ＋ F ＝－ 10 ①② 又令 y ＝ 0 ，得 x2＋ Dx ＋ F ＝ 0 ③ 設(shè) x1， x2是方程 ③ 的兩根． 由 | x1－ x2|＝ 6 有 D2－ 4 F ＝ 36 ④ 由 ①②④ 得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 8 或 D ＝－ 6 ， E ＝－8 ， F ＝ 0. 故所求圓的方程為 x2＋ y2－ 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x2＋ y2－ 6 x －8 y ＝ 0. [ 方法總結(jié) ] 求具備一定條件的圓的方程時，其關(guān)鍵是尋找確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法．在一些問題中借助圓的平面幾何中的知識可以簡化計算，如已知一個圓經(jīng)過兩個點(diǎn)時，其圓心一定在這兩點(diǎn)的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用． 對于 a ∈ R ，直線 ( a － 1) x － y ＋ a ＋ 1 ＝ 0 恒過定點(diǎn) C ，則以C 為圓心，以 5 為半徑的圓的方程為 ( ) A ． x2＋ y2－ 2 x ＋ 4 y ＝ 0 B ． x2＋ y2＋ 2 x ＋ 4 y ＝ 0 C ． x2＋ y2＋ 2 x － 4 y ＝ 0 D ． x2＋ y2－ 2 x － 4 y ＝ 0 [ 答案 ] C [ 解析 ] 直線方程可化為 ( x ＋ 1) a － x － y ＋ 1 ＝ 0 ，易得直線恒過定點(diǎn) ( － 1,2) ．故所求圓的方程 ( x ＋ 1)2＋ ( y － 2)2＝ 5 ，即為 x2＋ y2＋ 2 x － 4 y ＝ 0. 與圓有關(guān)的最值問題 已知實(shí)數(shù) x 、 y 滿足方程 x2＋ y2－ 4 x ＋ 1 ＝ 0. (1) 求yx的最大值和最小值 ； (2) 求 y － x 的最大值和最小值； (3) 求 x2＋ y2的最大值和最小值． [ 思路分析 ] 根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 原方程可化為 ( x － 2)2＋ y2＝ 3 ，表示以( 2,0) 為圓心， 3 為半徑的圓，yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yx＝ k ，即 y ＝ kx . 當(dāng)直線 y ＝ kx 與圓相切時，斜率 k 取最大值或最小值， 此時|2 k － 0|k2＋ 1＝ 3 ，解得 k ＝ 177。 3 . 所以yx的最大值為 3 ，最小值為－ 3 . ( 2) y － x 可看作是直線 y ＝ x ＋ b 在 y 軸上的截距，當(dāng)直線 y ＝x ＋ b 與圓相切時，縱截距 b 取得最大值或最
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