北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習52平面向量基本定理及向量的坐標運算(編輯修改稿)
2024-12-24 18:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 D 與 BC 的中點．設(shè) BA→＝ a ， BC→＝ b ，試用 a ， b為基底表示向量 EF→， DF→， CD→. [ 解析 ] EF→＝ EA→＋ AB→＋ BF→＝－16b － a ＋12b ＝13b － a ， DF→＝ DE→＋ EF→＝－16b ＋ (13b － a ) ＝16b － a ， CD→＝ CF→＋ FD→＝－12b － (16b － a ) ＝ a －23b . 平面向量的坐標運算 已知 A ( － 2,4) ， B (3 ，－ 1) ， C ( － 3 ，－ 4) ． 設(shè) AB→＝ a ， BC→＝ b ， CA→＝ c ，且 CM→＝ 3 c ， CN→＝－ 2 b ， ( 1) 求 3 a ＋ b － 3 c ； ( 2) 求滿足 a ＝ m b ＋ n c 的實數(shù) m ， n ； ( 3) 求 M ， N 的坐標及向量 MN→的坐標． [ 思路分析 ] 利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關(guān)系求解． [ 規(guī)范解答 ] 由已知得 a ＝ (5 ，－ 5) ， b ＝ ( － 6 ，－ 3) ， c ＝(1,8) ． (1) 3 a ＋ b － 3 c ＝ 3( 5 ，－ 5) ＋ ( － 6 ，－ 3) － 3( 1,8) ＝ (15 － 6 － 3 ，－ 15 － 3 － 24) ＝ (6 ，－ 42) ． (2) ∵ m b ＋ n c ＝ ( － 6 m ＋ n ，－ 3 m ＋ 8 n ) ＝ (5 ，－ 5) ， ∴????? － 6 m ＋ n ＝ 5－ 3 m ＋ 8 n ＝－ 5，解得????? m ＝－ 1n ＝－ 1. (3) ∵ CM→＝ OM→－ OC→＝ 3 c ， ∴ OM→＝ 3 c ＋ OC→＝ (3,24 ) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (0,20 ) ． ∴ M (0,20 ) ． 又 ∵ CN→＝ ON→－ OC→＝－ 2 b ， ∴ ON→＝－ 2 b ＋ OC→＝ (12,6 ) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (9,2) ． ∴ N (9,2) ， ∴ MN→＝ (9 ，－ 18) ． [ 方法總結(jié) ] ( 1) 向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用． ( 2) 利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)． ( 文 ) 在平行四邊形 AB CD 中， AC 為一條對角線，若 AB→＝( 2,4) ， AC→＝ ( 1,3) ，則 BD→＝ ( ) A ． ( － 2 ，－ 4) B ． ( － 3 ，－ 5) C ． ( 3,5) D ． ( 2,4) [ 答案 ] B [ 解析 ] 由題意得 BD→＝ AD→－ AB→＝ BC→－ AB→＝ ( AC→－ AB→) －AB→＝ AC→－ 2 AB→＝ ( 1,3) － 2( 2,4) ＝ ( － 3 ，－ 5) ． ( 理 ) 已知點 A ( － 1,2) ， B ( 2,8) 以及 AC→＝13AB→， DA→＝－13BA→，求點 C 、 D 的坐標和 CD→的坐標． [ 分析 ] 根據(jù)題意可設(shè)出點 C 、 D 的坐標，然后利用已知的兩個關(guān)系式列方程組，求出坐標． [ 解析 ] 設(shè)點 C 、 D 的坐標分別為 ( x1， y1) ， ( x2， y2) ， 由題意得 AC→＝ ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ， AB→＝ ( 3,6) ， DA→＝ ( － 1 － x2,2 － y2) ， BA→＝ ( － 3 ，－ 6) ． 因為 AC→＝13AB→， DA→＝－13BA→， 所以有????? x1＋ 1 ＝ 1 ，y1－ 2 ＝ 2和????? － 1 － x2＝ 1 ，2 － y2＝ 2 ，解得 ????? x1＝ 0 ，y1＝ 4和????? x2＝－ 2 ，y2＝ 0 ， 所以點 C 、 D 的坐標分別是 ( 0,4) ， ( － 2,0) ， 從而 CD→＝ ( － 2 ，－ 4) . 平面向量共線的坐標表示 平面內(nèi)給定三個向量 a ＝ (3,2) ， b ＝ ( － 1,2) ， c ＝(4,1) ，請解答下列問題： (1) 求滿足 a ＝ m b ＋ n c 的實數(shù) m ， n ； (2) 若 ( a ＋ k c ) ∥ (2 b － a ) ，求實數(shù) k ； (3) 若 d 滿足 ( d － c ) ∥ ( a ＋ b ) ，且 | d － c |＝ 5 ，求 d . [ 思路分析 ] ( 1) 向量相等對應(yīng)坐標相等
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