北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)53平面向量的數(shù)量積(編輯修改稿)
2024-12-24 18:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝ AO→＋ OB→，故 CA→ AB→＝ CA→( AO→＋ OB→) ＝ CA→ AO→＋ CA→ OB→. 而 AO→＝－12CA→， CA→⊥ OB→. 所以 CA→ AB→＝－12CA→2＝－ 8. 利用平面向量數(shù)量積求夾角與模 已知 |a |＝ 4 ， |b |＝ 3 ， (2 a － 3 b ) (2 a ＋ b ) ＝ 61. (1) 求 a 與 b 的夾角 θ ； (2) 求 |a ＋ b |和 |a － b |. [ 思路分析 ] 由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得 a b 的值，再求其夾角的余弦值，從而得其夾角． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) ( 2 a － 3 b ) ( 2 a ＋ b ) ＝ 61 ， 解得 a b ＝－ 6. ∴ c os θ ＝a b|a || b |＝－ 64 3＝－12，又 0 ≤ θ ≤ π ， ∴ θ ＝2π3. ( 2) |a ＋ b |2＝ a2＋ 2 a b ＋ b2＝ 13 ， ∴ |a ＋ b |＝ 13 . |a － b |2＝ a2－ 2 a b ＋ b2＝ 37. ∴ |a － b |＝ 37 . [ 方法總結(jié) ] 在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對 |a |＝ a a 要引起足夠重視，是求距離常用的公式． 已知 a 與 b 是兩個非零向量，且 |a |＝ |b |＝ |a － b |， 求 a 與 a ＋ b 的夾角． [ 解析 ] 設(shè) a 與 a ＋ b 的夾角為 θ ， 由 |a |＝ |b |得 |a |2＝ |b |2. 又由 |b |2＝ |a － b |2＝ |a |2－ 2 a b ＋ |b |2. ∴ a b ＝12|a |2， 而 |a ＋ b |2＝ |a |2＋ 2 a b ＋ | b |2＝ 3| a |2， ∴ |a ＋ b |＝ 3 |a |. ∴ c os θ ＝a ? a ＋ b ?|a || a ＋ b |＝|a |2＋12|a |2|a | 3 |a |＝32. ∵ 0176。 ≤ θ ≤ 180176。 ， ∴ θ ＝ 30176。 ，即 a 與 a ＋ b 的夾角為 30176。 . 平面向量的數(shù)量積與垂直問題 已知 |a |＝ 4 ， |b |＝ 8 ， a 與 b 的夾角是 120176。 . (1) 計算 |a ＋ b |， |4 a － 2 b |； (2) 當(dāng) k 為何值時， ( a ＋ 2 b ) ⊥ ( k a － b )? [ 思路分析 ] (1) 利用公式 |a | ＝ a2和 |a ＋ b | ＝ ? a ＋ b ?2求解； (2) 利用向量垂直的充要條件，通過坐標(biāo)表示列方程求 k . [ 規(guī)范解答 ] 由已知， a b ＝ 4 8 ??????－12＝－ 16. (1) ∵ |a ＋ b |2＝ a2＋ 2 a b ＋ b2＝ 16 ＋ 2 ( － 16) ＋ 64 ＝ 48 ， ∴ |a ＋ b |＝ 4 3 . ∵ |4 a － 2 b |2＝ 16 a2－ 16 a b ＋ 4 b2＝ 16 16 － 16 ( － 16) ＋4 64 ＝ 3 162， ∴ |4 a － 2 b |＝ 16 3 . (2) 若 ( a ＋ 2 b ) ⊥ ( k a － b ) ，則 ( a ＋ 2 b ) ( k a － b ) ＝ 0 ， ∴ k a2＋ (2 k － 1) a b － 2 b2＝ 0 ， 即 16 k － 16(2 k － 1) － 2 64 ＝ 0 ， ∴ k ＝－ 7. [ 方法總結(jié) ] 1. 當(dāng) a 與 b 是坐標(biāo)形式給出時，若證明 a ⊥ b ，則只需證明 a b ＝ 0 ? x1x2＋ y1y2＝ 0. 2 ．當(dāng)向量 a ， b 是非坐標(biāo)形式時，要把 a ， b 用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明 a b ＝ 0. ( 文 ) ( 2020 山東文， 15) 在平面直角坐標(biāo)系 x Oy 中，已知 OA→＝ ( － 1 ， t ) ， OB→＝ ( 2,2) ．若 ∠ ABO ＝ 90176。 ，則實(shí)數(shù) t 的值為________ ． [ 答案 ] 5 [ 解析 ] 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的條件． 易知 AB→⊥ OB→，而 AB→＝ OB→－ OA→＝ ( 3,2 － t ) ， OB→＝ ( 2,2) ， ∴ AB→ OB→＝ 0 ，即 3 2 ＋ 2( 2 － t ) ＝ 0 ， ∴ t ＝ 5. ( 理 ) 已知平面內(nèi) A ， B ， C 三點(diǎn)共線， O 為原點(diǎn)， OA→＝ ( －2 ， m ) ， OB→＝ ( n, 1) ， OC→＝ (5 ，－ 1) ，且 OA→⊥ OB→，求實(shí)數(shù) m ，n 的值．
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