北師大版高考數(shù)學一輪總復習61數(shù)列的概念與簡單表示法(編輯修改稿)
2024-12-25 06:52 本頁面
【文章內容簡介】 ? ，故其一個通項公式可寫為： an＝ ( － 1)n ＋ 1n2＋ 12 n ＋ 1. 根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式 根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的通項公式． (1) a1＝ 2 ， an ＋ 1＝ an＋ n ； (2) a1＝ 1,2n － 1an＝ an － 1； ( 理 )( 3) a1＝ 1 ， an ＋ 1＝ 3 an＋ 2. [ 思路分析 ] (1) 將遞推關系寫成 n － 1 個等式累加． (2) 將遞推關系寫成 n － 1 個等式累乘，或逐項迭代也可． ( 理 )( 3) 可用構造等比數(shù)列法求解． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 當 n ＝ 1 ,2,3 ， ? ， n － 1 時，可得 n － 1 個等式： an－ an － 1＝ n － 1 ， an － 1－ an － 2＝ n － 2 ， ? ， a2－ a1＝ 1 ， 將其相加，得 an－ a1＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ ( n － 1) ， ∴ an＝ a1＋? 1 ＋ n － 1 ?? n － 1 ?2 ＝ 2 ＋n ? n － 1 ?2＝n2－ n ＋ 42. ( 2) 解法 1 ： ∵ an＝anan － 1an － 1an － 2an － 2an － 3? a3a2a2a1 a1 ＝??????12n － 1??????12n － 2? ??????122??????121 a1 ＝??????121 ＋ 2 ＋ ? ＋ ( n － 1)＝??????12 ∴ an＝??????12 ?n－ 1?n2 ?n－ 1?n2 解法 2 ： 由 2n － 1an＝ an － 1得 an＝??????12n － 1an － 1 ∴ an＝??????12n － 1an － 1＝??????12n － 1??????12n － 2an － 2 ? ＝??????12n － 1??????12n － 2? ??????121a1 ＝??????12( n － 1) ＋ ( n － 2) ＋ ? ＋ 2 ＋ 1＝??????12 ?n－ 1?n2 ( 理 ) ( 3) ∵ an ＋ 1＝ 3 an＋ 2 ， ∴ an ＋ 1＋ 1 ＝ 3( an＋ 1) ， ∴an ＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 3 ， ∴ 數(shù)列 { an＋ 1} 為等比數(shù)列，公比 q ＝ 3 ， 又 a1＋ 1 ＝ 2 ， ∴ an＋ 1 ＝ 2 3n － 1， ∴ an＝ 2 3n － 1－ 1. [ 方法總結 ] 1. 已知 a1且 an－ an － 1＝ f ( n )( n ≥ 2) ，可以用 “ 累加法 ” ，即 an－ an － 1＝ f ( n ) ， an － 1－ an － 2＝ f ( n － 1) ， ? ， a3－ a2＝ f ( 3) ， a2－ a1＝ f ( 2) ． 所有等式左右兩邊分別相加，代入 a1得 an. 2 ．已知 a1且anan － 1＝ f ( n )( n ≥ 2) ，可以用 “ 累乘法 ” ， 即anan － 1＝ f ( n ) ，an － 1an － 2＝ f ( n － 1) ， ? ，a3a2＝ f ( 3) ，a2a1＝ f ( 2) ，所有等式左右兩邊分別相乘，代入 a1得 an. 提醒： 并不是每一個數(shù)列都有通項公式，如果一個數(shù)列有通項公式，那么它的通項公式在形式上也可以不止一個． 根據(jù)下列各個數(shù)列 { an} 的首項和基本關系式，求其通項公式． ( 1) a1＝ 1 ， an＝ an － 1＋ 3n － 1( n ≥ 2) ； ( 2) a1＝ 1 ， an＝n － 1nan － 1( n ≥ 2) ． [ 解析 ] ( 1) ∵ an＝ an － 1＋ 3n － 1， ∴ an－ an － 1＝ 3n － 1， an － 1－ an － 2＝ 3n － 2， an － 2－ an － 3＝ 3n － 3， ? a2－ a1＝ 31. 以上 n － 1 個等式兩邊分別相加得 an＝ a1＋ 31＋ 32＋ ? ＋ 3n － 1＝ 1 ＋ 3 ＋
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