北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)118條件概率、事件的獨(dú)立性(編輯修改稿)
2024-12-25 04:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 規(guī)范解答 ] ( 1) 設(shè)甲勝 A 的事件為 D ，乙勝 B 的事件為 E ，丙勝 C 的事件為 F 則 D ， E ， F 分別表示甲不勝 A 、乙不勝 B 、丙不勝 C 的事件． 因?yàn)?P ( D ) ＝ ， P ( E ) ＝ ， P ( F ) ＝ 由對立事件的概率公式知 P ( D ) ＝ ， P ( E ) ＝ ， P ( F )＝ . 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有： DE F－， D E F ， D EF ， DE F . 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 P ＝ P ( DE F ) ＋ P ( D E F ) ＋ P ( D EF ) ＋ P ( DE F ) ＝ ＋ 0. 6 ＋ ＋ ＝ . ( 2) 由題意知 X 可能的取值為 0,1,2,3. 又由 ( 1) 知 D E F 、 D E F 、 D E F 是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， 因此 P ( X ＝ 0) ＝ P ( D E F ) ＝ ＝ ， P ( X ＝ 1) ＝ P ( D E F ) ＋ P ( D E F ) ＋ P ( D E F ) ＝ ＋ ＋ ＝ . P ( X ＝ 3) ＝ P ( DE F ) ＝ ＝ . 由對立事件的概率公式得 P ( X ＝ 2) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) － P ( X ＝ 1) － P ( X ＝ 3) ＝ . 所以 X 的分布列為： X 0 1 2 3 P 因此 EX ＝ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ . [ 方法總結(jié) ] A A A3為獨(dú)立事件，那么 A A A3也為獨(dú)立事件，根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算． (1) 求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有： ① 利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解； ② 正面計(jì)算較繁或難于入手時(shí)，可以從其對立事件入手進(jìn)行計(jì)算． (2) 在應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式時(shí)，一定要認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，如 “ 至少有一個(gè)發(fā)生 ” 、 “ 至多有一個(gè)發(fā)生 ” 、 “ 恰有一個(gè)發(fā)生 ” 等等，同時(shí)結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法進(jìn)行求解． 如圖，由 M 到 N 的電路中有 4 個(gè)元件，分別標(biāo)為 T1 , T2，T3， T4，電流能通過 T1， T2， T3的概率都是 p ，電流能通過 T4的概率是 . 電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知 T1， T2， T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為 . ( 1) 求 p ； ( 2) 求電流能在 M 與 N 之間通過的概率． [ 解析 ] 記 Ai表示事件：電流能通過 Ti， i＝ 1, 2,3,4 ， A 表示事件： T1， T2， T3中至少有一個(gè)能通過電流， B 表示事件：電流能在 M 與 N 之間通過． ( 1) A ＝ A1 A2 A3， A1， A2， A3相互獨(dú)立， 故 P ( A ) ＝ P ( A1 A2 A3) ＝ P ( A1) P ( A2) P ( A3) ＝ (1 － p )3， 又 P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝ 1 － 0. 999 ＝ ， 故 (1 － p )3＝ ，解得 p ＝ . ( 2) B ＝ A4＋ A4 A1 A3＋ A4 A1 A2 A3， P ( B ) ＝ P ( A4＋ A4 A1 A3＋ A4 A1 A2 A3) ＝ P ( A4) ＋ P ( A4 A1 A3) ＋ P ( A4 A1 A2 A3) ＝ P ( A4) ＋ P ( A4) P ( A1) P ( A1) P ( A3) ＋ P ( A4) P ( A1) P ( A2) P ( A3)＝ ＋ ＋ ＝ 1. 獨(dú)立重復(fù)
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