北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)119二項分布與正態(tài)分布(編輯修改稿)
2024-12-25 04:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ＋ xnpn求其均值．隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，只要找準(zhǔn)隨機變量及相應(yīng)的概率即可 計算． 從某小組的 5 名女生和 4 名男生中任選 3 人去參加一項公益活動． ( 1) 求所選 3 人中恰有一名男生的概率； ( 2) 求所選 3 人中男生人數(shù) X 的分布列，并求 X 的均值． [ 解析 ] ( 1) 所選 3 人中恰有一名男生的概率 P ＝C25C14C39＝1021. ( 2) X 的可能取值為 0,1, 2,3. P ( X ＝ 0) ＝C35C39＝542， P ( X ＝ 1) ＝C25C14C39＝1021， P ( X ＝ 2) ＝C15C24C39＝514， P ( X ＝ 3) ＝C34C39＝121. ∴ X 的分布列為： X 0 1 2 3 P 542 1021 514 121 ∴ EX ＝ 0 542＋ 1 1021＋ 2 514＋ 3 121＝43. 離散型隨機變量的方差 設(shè)甲、乙兩名射手在一次射擊中分別射中的環(huán)數(shù)為兩個相互獨立的隨機變量 X ， η ，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)均大于 6 環(huán)，且甲射中 10,9,8,7 環(huán) 的概率分別為 ,3 a ， a, ，乙射中 10,9,8 環(huán)的概率分別為 ,. (1) 求 X ， η 的分布列； (2) 求 X ， η 的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 依題意得 ＋ 3 a ＋ a ＋ ＝ 1 ， 解得 a ＝ . ∵ 乙射中 10,9,8 環(huán)的概率分別為 , ， ∴ 乙射中 7 環(huán)的概率為 1 － ( ＋ ＋ ) ＝ . ∴ X 的分布列為： X 10 9 8 7 P η 的分布列為： η 10 9 8 7 P ( 2) 由 ( 1) 可得： EX ＝ 10 ＋ 9 ＋ 8 ＋ 7 ＝ ( 環(huán) ) ， Eη ＝ 10 ＋ 9 ＋ 8 ＋ 7 ＝ ( 環(huán) ) ， DX ＝ ( 10 － )2 ＋ (9 － )2 ＋ (8 － )2 ＋(7 － )2 ＝ ， Dη ＝ ( 10 － )2 ＋ (9 － )2 ＋ (8 － 8. 7)2 ＋(7 － )2 ＝ . 由于 EX Eη ，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又因為DX Dη ，說明甲射中 的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定．所以，甲比乙的射擊技術(shù)好． [ 方法總結(jié) ] 隨機變量的均值與方差，都是隨機變量的重要特征數(shù) ( 或數(shù)字特征 ) ，是對隨機變量的一種簡明的描述，它們所反映的隨機變量的情況有著很重要的實際意義，所以，不僅需要掌握其計算公式和方法，也要學(xué)會通過這些數(shù)據(jù)分析其含義，從而為正確決策提供依據(jù)． 均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的．比如：兩個隨機變量的均值相等了，這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算其方差 ( 或標(biāo)準(zhǔn)差 ) ，方差大說明隨機變量取值分散性大；方差 小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定． 甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護(hù)區(qū)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為 X 0 1 2 3 P η 0 1 2 P 試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平． [ 思路分析 ] 解決此類問題的方法是比較兩者均值和方差的大小，從而得出結(jié)論． [ 規(guī)范解答 ] 甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù) X 的均值和方差為 EX ＝ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ ； DX ＝ (0 － )2 ＋ (1 － )2 ＋ (2 － )2 ＋ (3－ )2 ＝ . 乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù) η 的均值和方差為： Eη ＝ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＝ ； Dη ＝ (0 － )2 ＋ (1 － )2 0. 5 ＋ (2 － 1. 3)2
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