北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)84空間中的垂直關(guān)系(編輯修改稿)
2024-12-25 01:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 如圖，在四棱錐 P － ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， ∠ ADC ＝ 45176。 ， AD ＝ AC ＝ 1 ， O 為 AC 的中點(diǎn)， PO⊥ 平面 ABCD . 證明： AD ⊥ 平面 P AC . 線面垂直的判定與性質(zhì) [ 思路分析 ] 只需證 AD ⊥ AC ，再利用線面垂直的判定定理即可． [ 規(guī)范解答 ] ∵∠ AD C ＝ 45176。 ，且 AD ＝ AC ＝ 1. ∴∠ DA C ＝ 90176。 ，即 AD ⊥ AC ， 又 PO ⊥ 平面 AB CD ， AD 平面 AB CD ， ∴ PO ⊥ AD ，而 A C ∩ PO ＝ O ， ∴ AD ⊥ 平面 P AC . [ 方法總結(jié) ] 1. 證明直線和平面垂直的常用方法有： ① 判定定理； ② a ∥ b ， a ⊥ α ? b ⊥ α ； ③ α ∥ β ， a ⊥ α ? a⊥ β ； ④ 面面垂直的性質(zhì)． 2 ．線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直． 如圖，已知 BD ⊥ 平面 ABC ， AC ＝ BC ， N 是棱 AB 的中點(diǎn)．求證： CN ⊥ AD . [ 解析 ] ∵ BD ⊥ 平面 AB C ， CN 平面 ABC ， ∴ BD ⊥ CN . 又 ∵ AC ＝ BC ， N 是 AB 的中點(diǎn)． ∴ CN ⊥ AB . 又 ∵ BD ∩ AB ＝ B ， ∴ CN ⊥ 平面 ABD . 而 AD 平面 ABD ， ∴ CN ⊥ AD . 面面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示，在四棱錐 P － AB CD 中，平面 P AD ⊥平面 AB CD ， AB ∥ DC ，已知 BD ＝ 2 AD ＝ 8 ， AB ＝ 2 DC ＝ 4 5 . M是 PC 上的一點(diǎn)，證明：平面 M BD ⊥ 平面 P AD . [ 思路分析 ] 證明 BD ⊥ 平面 P AD ，根據(jù)已知平面 P AD ⊥平面 AB CD ，只要證明 BD ⊥ AD 即可． [ 規(guī)范解答 ] 在 △ ABD 中，由于 AD ＝ 4 ， BD ＝ 8 ， AB ＝4 5 ， 所以 AD2＋ BD2＝ AB2.故 AD ⊥ BD . 又平面 P AD ⊥ 平面 AB CD ，平面 P AD ∩ 平面 AB CD ＝ AD ， BD 平面 AB CD ，所以 BD ⊥ 平面 P AD . 又 BD 平面 M BD ，故平面 M BD ⊥ 平面 P AD . [ 方法總結(jié) ] 1. 證明平面與平面垂直，主要方法是判定定理，通過(guò)證明線面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而把問(wèn)題再轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決． 2 ．線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn) 化是解決有關(guān)垂直證明題的指導(dǎo)思想，其中線線垂直是最基本的，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中起穿針引線的作用，線面垂直是紐帶，可以把線線垂直與面面垂直聯(lián)系起來(lái)． 如圖，在直三棱柱 ABC － A1B1C1中， A1B1＝ A1C1， D ， E分別是棱 BC ， CC1上的點(diǎn) ( 點(diǎn) D 不同于點(diǎn) C ) ，且 AD ⊥ DE ， F 是B1C1的中點(diǎn)． 求證： ( 1) 平面 AD E ⊥ 平面 BCC1B1； ( 2) 直線 A1F ∥ 平面 AD E . [ 解析 ] ( 1) 因?yàn)?ABC － A1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1⊥ 平面 AB C ， 又 AD 平面 ABC ，所以 CC1⊥ AD . 又因?yàn)?AD
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