【文章內(nèi)容簡介】
次函數(shù)的解析式時,如果選用的形式不當、引入的系數(shù)過多,會加大運算量,易出錯. 已知二次函數(shù) f ( x ) 的圖像過 A ( - 1,0) , B ( 3,0) , C (1 ,- 8) . ( 1) 求 f ( x ) 的解析式; ( 2) 求 f ( x ) 在 x ∈ [ 0,3] 上的最值; ( 3) 求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集. [ 解析 ] (1) 由題意可設 f ( x ) = a ( x + 1 )( x - 3) , 將 C (1 ,- 8) 代入得- 8 = a (1 + 1) (1 - 3) , ∴ a = 2. 即 f ( x ) = 2( x + 1 )( x - 3) = 2 x2- 4 x - 6. (2) f ( x ) = 2( x - 1)2- 8 , 當 x ∈ [ 0,3] 時,由二次函數(shù)圖像知 f ( x )m in= f (1) =- 8 , f ( x )m ax= f (3) = 0. (3) f ( x ) ≥ 0 的解集為 { x | x ≤ - 1 或 x ≥ 3}. 二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) f ( x ) = x2- 2 x - 1 在閉區(qū)間 [ t , t + 1 ] ( t ∈ R ) 上的最小值記為 g ( t ) . (1) 試寫出 g ( t ) 的函數(shù)表達式; (2) 作 g ( t ) 的圖像并寫出 g ( t ) 的最小值. [ 思路分析 ] 分類討論 t 的范圍分別確定 g ( t ) 的表達式. [ 規(guī)范解答 ] (1) f ( x ) = x2- 2 x - 1 = ( x - 1)2- 2. ① 當 t ≤ 1 ≤ t + 1 ,即 0 ≤ t ≤ 1 時, g ( t ) =- 2. ② 當 t 1 時, f ( x ) 在區(qū)間 [ t , t + 1] 上是增加的,則最小值g ( t ) = f ( t ) = t2- 2 t - 1 ; ③ 當 t + 1 1 時,即 t 0 時, f ( x ) 在區(qū)間 [ t , t + 1] 是減少的,則最小值 g ( t ) = f ( t + 1) = t2- 2. ∴ g ( t ) =????? t2- 2 ? t 0 ?- 2 ? 0 ≤ t ≤ 1 ?t2- 2 t - 1 ? t 1 ? (2) g ( t ) 的圖像如圖所示: ∴ g ( t )m in=- 2. [ 方法總結(jié) ] 影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值的要素和求法: ( 1) 最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關; ( 2) 常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖像求解,在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖像的頂點處取得最值. 提醒: 當開口方向或?qū)ΨQ軸位置或區(qū)間不確定時要分情況討論. ( 文 ) 已知函數(shù) f ( x ) = x2+ 2 ax + 2 , x ∈ [ - 5,5] . ( 1) 當 a =- 1 時,求函數(shù) f ( x ) 的最大值和最小值; ( 2) 求實數(shù) a 的取值范圍,使 y = f ( x ) 在區(qū)間 [ - 5,5] 上是單調(diào)函數(shù). [ 解析 ] ( 1) 當 a =- 1 時, f ( x ) = x2- 2 x + 2 = ( x - 1)2+ 1 , x∈ [ - 5,5] , ∵ f ( x ) 的對稱軸為 x = 1 , ∴ x = 1 時, f ( x ) 取最小值 1 ; x =- 5 時, f ( x ) 取最大值 37. ( 2) f ( x ) = x2+ 2 ax + 2 = ( x + a )2+ 2 - a2的對稱軸為 x =- a , ∵ f ( x ) 在 [ - 5,5] 上是單調(diào)函數(shù), ∴ - a ≤ - 5 ,或- a ≥ 5 , 所以實數(shù) a 的取值范圍是 a ≤ - 5 ,或 a ≥ 5. ( 理 ) 已知函數(shù) f ( x ) = 4 x2- 4 ax + a2- 2 a + 2 在區(qū)間 [ 0,2] 上有最小值 3 ,求 a 的值. [ 解析 ] ∵ f ( x ) = 4??????x -a22- 2 a + 2. ① 當a2≤ 0 ,即 a ≤ 0 時,函數(shù) f ( x ) 在 [ 0,2] 上是增加的, ∴ f ( x )m in= f ( 0) = a2- 2 a + 2. 由 a2- 2 a + 2 = 3 ,得 a = 1177。 2 , ∵ a 0 , ∴ a = 1 - 2 . ② 當 0a22 ,即 0 a 4 時, f ( x )m in= f??????a2=- 2 a + 2. 由- 2 a + 2 = 3 得 a =-12? ( 0,4) 舍去. ③ 當a2≥ 2 ,即 a ≥ 4 時,函數(shù) f ( x ) 在 [ 0,2] 上是減少的, f ( x )m in= f ( 2) = a2- 10 a + 18 , 由 a2- 10 a + 18 = 3 得 a = 5177。 10 , ∵ a ≥ 4 , ∴ a = 5 + 10 , 綜上所述, a = 1 - 2 或 a = 5 + 10 . 一元二次方程根的分布問題 已知關于 x 的方程 ( m + 3) x2- 4 mx + 2 m - 1 = 0 的兩根異號,且負根的絕對值比正根大,求實數(shù) m 的取值范圍. [ 思路分析 ] 在研究一元二次方程根的分布問題時,常借助于二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合來解,一般從四個方面分析: ①開口方向; ② 對稱軸位置; ③ 判別式; ④ 端點函數(shù)值符號 . [ 規(guī)范解答 ] 解法 1 :設方程 ( m + 3) x2- 4 mx + 2 m - 1 = 0的兩根分別為 x1, x2, 由題意知??????? Δ = 16 m2- 4 ? m + 3 ?? 2 m - 1 ? 0 , ①x1+ x2=4 mm + 30 , ②x1x2