北師大版高考數(shù)學一輪總復習24二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-12-25 04:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 次函數(shù)的解析式時，如果選用的形式不當、引入的系數(shù)過多，會加大運算量，易出錯． 已知二次函數(shù) f ( x ) 的圖像過 A ( － 1,0) ， B ( 3,0) ， C (1 ，－ 8) ． ( 1) 求 f ( x ) 的解析式； ( 2) 求 f ( x ) 在 x ∈ [ 0,3] 上的最值； ( 3) 求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集． [ 解析 ] (1) 由題意可設 f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1 )( x － 3) ， 將 C (1 ，－ 8) 代入得－ 8 ＝ a (1 ＋ 1) (1 － 3) ， ∴ a ＝ 2. 即 f ( x ) ＝ 2( x ＋ 1 )( x － 3) ＝ 2 x2－ 4 x － 6. (2) f ( x ) ＝ 2( x － 1)2－ 8 ， 當 x ∈ [ 0,3] 時，由二次函數(shù)圖像知 f ( x )m in＝ f (1) ＝－ 8 ， f ( x )m ax＝ f (3) ＝ 0. (3) f ( x ) ≥ 0 的解集為 { x | x ≤ － 1 或 x ≥ 3}. 二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ 2 x － 1 在閉區(qū)間 [ t ， t ＋ 1 ] ( t ∈ R ) 上的最小值記為 g ( t ) ． (1) 試寫出 g ( t ) 的函數(shù)表達式； (2) 作 g ( t ) 的圖像并寫出 g ( t ) 的最小值． [ 思路分析 ] 分類討論 t 的范圍分別確定 g ( t ) 的表達式． [ 規(guī)范解答 ] (1) f ( x ) ＝ x2－ 2 x － 1 ＝ ( x － 1)2－ 2. ① 當 t ≤ 1 ≤ t ＋ 1 ，即 0 ≤ t ≤ 1 時， g ( t ) ＝－ 2. ② 當 t 1 時， f ( x ) 在區(qū)間 [ t ， t ＋ 1] 上是增加的，則最小值g ( t ) ＝ f ( t ) ＝ t2－ 2 t － 1 ； ③ 當 t ＋ 1 1 時，即 t 0 時， f ( x ) 在區(qū)間 [ t ， t ＋ 1] 是減少的，則最小值 g ( t ) ＝ f ( t ＋ 1) ＝ t2－ 2. ∴ g ( t ) ＝????? t2－ 2 ? t 0 ?－ 2 ? 0 ≤ t ≤ 1 ?t2－ 2 t － 1 ? t 1 ? (2) g ( t ) 的圖像如圖所示： ∴ g ( t )m in＝－ 2. [ 方法總結(jié) ] 影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值的要素和求法： ( 1) 最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關； ( 2) 常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖像求解，在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖像的頂點處取得最值． 提醒： 當開口方向或?qū)ΨQ軸位置或區(qū)間不確定時要分情況討論． ( 文 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ 2 ax ＋ 2 ， x ∈ [ － 5,5] ． ( 1) 當 a ＝－ 1 時，求函數(shù) f ( x ) 的最大值和最小值； ( 2) 求實數(shù) a 的取值范圍，使 y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 [ － 5,5] 上是單調(diào)函數(shù)． [ 解析 ] ( 1) 當 a ＝－ 1 時， f ( x ) ＝ x2－ 2 x ＋ 2 ＝ ( x － 1)2＋ 1 ， x∈ [ － 5,5] ， ∵ f ( x ) 的對稱軸為 x ＝ 1 ， ∴ x ＝ 1 時， f ( x ) 取最小值 1 ； x ＝－ 5 時， f ( x ) 取最大值 37. ( 2) f ( x ) ＝ x2＋ 2 ax ＋ 2 ＝ ( x ＋ a )2＋ 2 － a2的對稱軸為 x ＝－ a ， ∵ f ( x ) 在 [ － 5,5] 上是單調(diào)函數(shù)， ∴ － a ≤ － 5 ，或－ a ≥ 5 ， 所以實數(shù) a 的取值范圍是 a ≤ － 5 ，或 a ≥ 5. ( 理 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 4 x2－ 4 ax ＋ a2－ 2 a ＋ 2 在區(qū)間 [ 0,2] 上有最小值 3 ，求 a 的值． [ 解析 ] ∵ f ( x ) ＝ 4??????x －a22－ 2 a ＋ 2. ① 當a2≤ 0 ，即 a ≤ 0 時，函數(shù) f ( x ) 在 [ 0,2] 上是增加的， ∴ f ( x )m in＝ f ( 0) ＝ a2－ 2 a ＋ 2. 由 a2－ 2 a ＋ 2 ＝ 3 ，得 a ＝ 1177。 2 ， ∵ a 0 ， ∴ a ＝ 1 － 2 . ② 當 0a22 ，即 0 a 4 時， f ( x )m in＝ f??????a2＝－ 2 a ＋ 2. 由－ 2 a ＋ 2 ＝ 3 得 a ＝－12? ( 0,4) 舍去． ③ 當a2≥ 2 ，即 a ≥ 4 時，函數(shù) f ( x ) 在 [ 0,2] 上是減少的， f ( x )m in＝ f ( 2) ＝ a2－ 10 a ＋ 18 ， 由 a2－ 10 a ＋ 18 ＝ 3 得 a ＝ 5177。 10 ， ∵ a ≥ 4 ， ∴ a ＝ 5 ＋ 10 ， 綜上所述， a ＝ 1 － 2 或 a ＝ 5 ＋ 10 . 一元二次方程根的分布問題 已知關于 x 的方程 ( m ＋ 3) x2－ 4 mx ＋ 2 m － 1 ＝ 0 的兩根異號，且負根的絕對值比正根大，求實數(shù) m 的取值范圍． [ 思路分析 ] 在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合來解，一般從四個方面分析： ①開口方向； ② 對稱軸位置； ③ 判別式； ④ 端點函數(shù)值符號 ． [ 規(guī)范解答 ] 解法 1 ：設方程 ( m ＋ 3) x2－ 4 mx ＋ 2 m － 1 ＝ 0的兩根分別為 x1， x2， 由題意知??????? Δ ＝ 16 m2－ 4 ? m ＋ 3 ?? 2 m － 1 ? 0 ， ①x1＋ x2＝4 mm ＋ 30 ， ②x1x2
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