北師大版高考數(shù)學一輪總復習43三角函數(shù)的圖像與性質(編輯修改稿)
2024-12-24 18:06 本頁面
【文章內容簡介】 畫出 [ 0,2π ] 上 y ＝ sin x 和 y ＝ c os x 的圖像，如圖所示．在 [ 0,2π ] 內，滿足 s in x ＝ c os x 的 x 為π4，5π4，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2π ，所以定義域為 { x |2 k π ＋π4≤ x ≤ 2 k π ＋5π4，k ∈ Z } ． 求函數(shù)的值域或最值 求下列函數(shù)值域： (1) y ＝ 2c os2x ＋ 2c os x ； (2) y ＝ 3c os x － 3 sin x ； (3) y ＝ sin x ＋ c os x ＋ sin x c os x . [ 思路分析 ] ( 1) 令 t ＝ c os x ，得 y ＝ 2 t2＋ 2 t ， t ∈ [ － 1,1] ，再配方求值域． ( 2) 利用輔助角公式可化為 y ＝ 2 3 c os??????x ＋π6，再求值域． ( 3) 令 t ＝ sin x ＋ c os x ，平方可用 t 表示 sin x c os x ，即可轉化為 t 的二次函數(shù)求解． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) y ＝ 2c os2x ＋ 2c os x ＝ 2??????c os x ＋122－12. 當且僅當 c os x ＝ 1 時，得 ym ax＝ 4 ， 當且僅當 c os x ＝－12時，得 ym in＝－12， 故函數(shù)值域為??????－12， 4 . ( 2) y ＝ 3c os x － 3 sin x ＝ 2 3????????32c os x －12sin x ＝ 2 3 c os??????x ＋π6. ∵??????c os??????x ＋π6≤ 1 ， ∴ 該函數(shù)值域為 [ － 2 3 ， 2 3 ] ． ( 3) y ＝ sin x c os x ＋ sin x ＋ c os x ＝? sin x ＋ c os x ?2－ 12＋ 2 sin??????x ＋π4 ＝ sin2??????x ＋π4＋ 2 sin??????x ＋π4－12 ＝????????sin??????x ＋π4＋222－ 1 ， 所以當 sin??????x ＋π4＝ 1 時 ， y 取最大值 1 ＋ 2 －12＝12＋ 2 . 當 sin??????x ＋π4＝－22時 ， y 取最小值 － 1 ， ∴ 該函數(shù)值域為??????－ 1 ，12＋ 2 . [ 方法總 結 ] 求三角函數(shù)的值域 ( 或最值 ) 的常見題型及解法為： 1 ． y ＝ a sin x ＋ b c os x 型可引用輔助角化為 y ＝ a2＋ b2sin( x ＋ φ )( 其中 tan φ ＝ba) ． 2 ． y ＝ a sin2x ＋ b sin x c os x ＋ c c os2x 型可通過降次整理化為 y＝ A sin2 x ＋ B c os2 x . 3 ． y ＝ a sin2x ＋ b c os x ＋ c 型可利用公式轉化為二次函數(shù)． 4 ． sin x c os x 與 sin x 177。 c os x 同時存在型可換元轉化． 5 ． y ＝a sin x ＋ bc sin x ＋ d( 或 y ＝a c os x ＋ bc c os x ＋ d) 型，可用分離常數(shù)法或由 | sin x |≤ 1 來解決． 6 ． y ＝a sin x ＋ bc c os x ＋ d型，可用斜率公式來解決． ( 文 ) 求下列函數(shù)的值域： ( 1) y ＝2sin x c os2x1 ＋ sin x， x ∈ [0 ，π2] ； ( 2) y ＝ sin2x ＋ 2sin x c os x ＋ 3c os2x . [ 解析 ] ( 1) y ＝2sin x ? 1 － sin2x ?1 ＋ sin x＝ 2sin x (1 － sin x ) ＝－ 2( sin x －12)2＋12， ∵ 0 ≤ x ≤π2， ∴ 0 ≤ sin x ≤ 1 ， ∴ y ∈ [0 ，12] ，即函數(shù)值域為 [0 ，12] ． ( 2) y ＝ sin2x ＋ 2sin x c os x ＋ 3c os2x ＝1 － c os2 x2＋ sin2 x ＋3 ? 1 ＋ c os2 x ?2 ＝ sin2
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