北師大版高考數學一輪總復習96拋物線(編輯修改稿)
2024-12-25 04:09 本頁面
【文章內容簡介】 有關問題的重要途徑． 若例題中點 A 的坐標變?yōu)?( 2,3) ，求 | PA |＋ | PF |的最小值． [ 解析 ] 將 x ＝ 2 代入拋物線方程，得 y ＝ 177。2 ， ∵ 3 2 ， ∴ 點 A 在拋物線的外部． ∵ | PA |＋ | PF |≥ | AF |＝325 ， ∴ A 、 P 、 F 三點共線時有最小值，最小值為325 . 拋物線的標準方程與幾何性質 已知拋物線的頂點在原點，焦點 在 y 軸上，拋物線上一點 M ( m ，－ 3) 到焦點的距離為 5 ，求 m 的值、拋物線方程和準線方程． [ 思路分析 ] 確定拋物線方程的形式→待定系數法確定參數 p→明確結論 [ 規(guī)范解答 ] 解法 1 ：設所求拋物線方程為 x2＝－2 py ( p 0) ．則焦點為 F (0 ，－p2) ． ∵ M ( m ，－ 3) 在拋物線上且 | MF |＝ 5 ， 故????? m2＝ 6 p ，m2＋ ?－ 3 ＋p2?2＝ 5，解得????? p ＝ 4 ，m ＝ 177。2 6 . ∴ 拋物線方程為 x2＝－ 8 y ， m ＝ 177。2 6 ， 準線方程為 y ＝ 2. 解法 2 ：如圖所示， 設拋物線方程為 x2＝－ 2 py ( p 0) ， 則焦點 F (0 ，－p2) ，準線 l： y ＝p2，作 MN ⊥ l，垂足為 N ， 則 | MN |＝ | MF |＝ 5 ，則 | MN |＝ 3 ＋p2， ∴ 3 ＋p2＝ 5 ， p ＝ 4. ∴ 拋物線方程為 x2＝－ 8 y ，準線方程為 y ＝ 2. 由 m2＝－ 8 ( － 3) ＝ 24 ，得 m ＝ 177。2 6 . [ 方法總結 ] 求拋物線標準方程常用的方法是待定系數法或軌跡法，標準方程有四種形式，在設方程形式之前，首先要確定拋物線的開口方向． 為避免開口不一定而分成 y2＝ 2 px ( p 0) 或 y2＝－ 2 px ( p 0)兩種情況求解的麻煩，可以設成 y2＝ mx 或 x2＝ ny ( m ≠ 0 ，n ≠ 0) ，若 m 0 ，開口向右， m 0 開口向左， m 有兩解，則拋物線的標準方程有兩個． 已知 F 為拋物線 x2＝ 2 py ( p 0) 的焦點， M 為其上一點，且| MF |＝ 2 p ，則直線 MF 的斜率為 ( ) A ．－33 B ． 177。33 C ．－ 3 D ． 177。 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 依題意，得 F (0 ，p2) ，準線為 y ＝－p2，過點 M 作MN 垂直于準線于 N ，過 F 作 FQ 垂直于 MN 于 Q ， 則 | MN |＝ | MF |＝ 2 p ， | MQ |＝ p ，故 ∠ M FQ ＝ 30176。 ， 即直線 MF 的傾斜角為 150176。 或 30176。 ，斜率為－33或33. 直線與拋物線的位置關系 已知過拋物線 y2＝ 2 px ( p 0) 的焦點，斜率為 2 2的直線交拋物線于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2)( x1 x2) 兩點，且 | AB |＝9 ， (1) 求該拋物線的方程； (2) O 為坐標原點， C 為拋物線上一點，若 OC→＝ OA→＋λ OB→，求 λ 的值． [ 思路分析 ] ( 1) 聯(lián)立方程，利用焦點弦公式求解； ( 2) 先求出 A 、 B 坐標，利用關系式表示出點 C 坐標，再利用點 C 在拋物線上求解． [ 規(guī)范解答 ]
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