北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)34定積分與微積分基本定理(理)(編輯修改稿)
2024-12-25 01:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0) ＝ ax20＋ c ( a ≠ 0) ， ∴ x20＝13，又 ∵ 0 ≤ x0≤ 1 ， ∴ x0＝33. 6 ． 若????01(2 x ＋ k )d x ＝ 2 ，則 k ＝ ________. [ 答案 ] 1 [ 解析 ] ????01 (2 x ＋ k )d x ＝ ( x 2 ＋ kx )| 10 ＝ 1 ＋ k ∴ 1 ＋ k ＝ 2 ， ∴ k ＝ 1. 課堂典例講練 求下列定積分： (1)????02(3 x2＋ 4 x3)d x ； (2) ∫π20sin2x2d x ； (3)????12??????x － x2＋1xd x ； (4)????01－ x2＋ 2 x d x ； (5) ??? 11 ( x c os x － 5sin x ＋ 2) d x . 定積分的計(jì)算 [ 思路分析 ] 先由定積分的性質(zhì)將其分解成各簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分，再利用牛頓 — 萊布尼茲公式求解．當(dāng)原函數(shù)較難求時(shí)，可考慮由其幾何意義求得． [ 規(guī)范解答 ] (1)????02(3 x2＋ 4 x3)d x ＝????023 x2d x ＋????024 x3d x ＝ x3|20＋ x4|20＝ 24. (2) ???0π2sin2x2d x ＝???0π21 － c os x2d x ＝???0π212d x －???0π2c os x2d x ＝12x???? π20－12sin x???? π20 ＝12 ??????π2－ 0 －12(1 － 0) ＝12 ??????π2－ 1 ＝π － 24. (3)????12??????x － x2＋1xd x ＝????12x d x －????12x2d x ＋????121xd x ＝x22|21－x33|21＋ ln x |21 ＝32－73＋ ln2 ＝ ln2 －56. (4) y ＝ － x2＋ 2 x ＝ 1 － ? x － 1 ?2 ?????? y ≥ 0 ，? x － 1 ?2＋ y2＝ 1 ， 由圖形可知：????01－ x2＋ 2 x ＝π4. ( 5) 因?yàn)?f ( x ) ＝ x c os x － 5si n x 在 [ － 1,1] 上為奇函數(shù)， 所以??? 11f ( x )d x ＝ 0. ??? 11 ( x c os x － 5sin x ＋ 2 ) d x ＝??? 112d x ＝ 2 x |1－ 1 ＝ 4. [ 方法總結(jié) ] ( 1) 利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，因 此應(yīng)注意掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． ( 2) 根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分． ( 3) 若 y ＝ f ( x ) 為奇函數(shù)，則?? a － af ( x )d x ＝ 0. 求下列定積分． ( 1)????12( x2＋ 2 x ＋ 1) d x ； ( 2)????0π( sin x － c os x )d x ； ( 3)????12|3 － 2 x |d x . [ 解析 ] ( 1)????12( x2＋ 2 x ＋ 1) d x ＝????12x2d x ＋????122 x d x ＋ ????121 d x ＝x
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