北師大版高考數學一輪總復習32導數的應用(編輯修改稿)
2024-12-25 04:09 本頁面
【文章內容簡介】 ＝ x3－12x2－ 2 x ＋ 5 ； ( 2) y ＝ 2 x2－ ln x . [ 解析 ] ( 1) ∵ y ′ ＝ 3 x2－ x － 2 ＝ (3 x ＋ 2) ( x － 1) ， ∴ 令 y ′ 0 ，得 x ∈ ( － ∞ ，－23) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ． 當 y ′ 0 時， x ∈ ( －23， 1) ． ∴ 函數的增區(qū)間為 ( － ∞ ，－23) ， (1 ，＋ ∞ ) ； 函數的減區(qū)間為 ( －23， 1) ． ( 2) ∵ y ′ ＝ 4 x －1x＝4 x2－ 1x，定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ， 令 y ′ 0 ，得 x ∈ (0 ，12) ．令 y ′ 0 ，得 x ∈ (12，＋ ∞ ) ． ∴ 函數的增區(qū)間為 (12，＋ ∞ ) ，函數的減區(qū)間為 (0 ，12) ． ( 理 ) 已知 a ， b 為常數，且 a ≠ 0 ，函數 f ( x ) ＝－ ax ＋ b ＋ ax ln x ，f ( e ) ＝ 2( e ＝ 28 ? 是自然對數的底數 ) ． ( 1) 求實數 b 的值； ( 2) 求函數 f ( x ) 的單調區(qū)間． [ 解析 ] (1) 由 f ( e ) ＝ 2 得 b ＝ 2. (2) 由 (1) 可得 f ( x ) ＝－ ax ＋ 2 ＋ ax ln x ， 從而 f ′ ( x ) ＝ a ln x . 因為 a ≠ 0 ，故： ① 當 a 0 時，由 f ′ ( x ) 0 得 x 1 ， 由 f ′ ( x ) 0 得 0 x 1 ； ② 當 a 0 時，由 f ′ ( x ) 0 得 0 x 1 ， 由 f ′ ( x ) 0 得 x 1. 綜上，當 a 0 時，函數 f ( x ) 的單調遞增區(qū)間為 (1 ，＋ ∞ ) ，單調減區(qū)間為 (0,1) ；當 a 0 時， f ( x ) 的單調遞增區(qū)間為 (0,1) ，單調遞減區(qū)間為 (1 ，＋ ∞ ). 由函數的單調性求參數的范圍 ( 值 ) (2020 江西卷改編 ) 已知函數 f ( x ) ＝ ( ax2＋ bx ＋ c ) ex在 [ 0,1] 上單調遞減且滿足 f (0) ＝ 1 ， f (1) ＝ 0. 求 a 的取值范圍． [ 思路分析 ] 先由 f (0) ＝ 1 ， f (1) ＝ 0 得 a ， b ， c 關系，求得f ( x ) 解析式，利用 f ′ ( x ) 0 求解． [ 規(guī)范解答 ] 由 f ( 0) ＝ 1 ， f ( 1) ＝ 0 ， 得 c ＝ 1 ， a ＋ b ＝－ 1 ， 則 f ( x ) ＝ [ ax2－ ( a ＋ 1) x ＋ 1] ex， f ′ ( x ) ＝ [ ax2＋ ( a － 1) x － a ]ex 依題意需對任意 x ∈ ( 0, 1) ，有 f ′ ( x ) 0. 當 a 0 時，因為二次函數 y ＝ ax2＋ ( a － 1) x － a 的圖像開口向上，而 f ′ ( 0) ＝－ a 0 ， 所以需 f ′ ( 1) ＝ ( a － 1) e 0 ，即 0 a 1. 當 a ＝ 1 時，對任意 x ∈ ( 0,1) 有 f ′ ( x ) ＝ ( x2－ 1) ex0 ， f ( x )符合條件； 當 a ＝ 0 時，對于任意 x ∈ ( 0,1) ， f ′ ( x ) ＝－ x ex0 ， f ( x ) 符合條件； 當 a 0 時，因 f ′ ( 0) ＝－ a 0 ， f ( x ) 不符合條件． 故 a 的取值范圍為 0 ≤ a ≤ 1. [ 方法總結 ] 已知函數的單調性，求參數的取值范圍，應用條件 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) ， x ∈ ( a ， b ) ，轉化為不等式恒成立求解． 已 知 f ( x ) ＝ ex－ ax － 1. 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0] 上單調遞減，在 [0 ，＋ ∞ ) 上單調遞增？若存在，求出 a 的值；若不存在，說明理由． [ 解析 ] 方法一：由題意知 ex－ a ≤ 0 在 ( － ∞ ， 0] 上恒成立． ∴ a ≥ ex在 ( － ∞ ， 0] 上恒成立． ∵ y ＝ ex在 ( － ∞ ， 0] 上為增函數． ∴ 當 x ＝ 0 時， ex最大為 1. ∴ a ≥ 1
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