北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)46二倍角的三角函數(shù)(編輯修改稿)
2024-12-24 18:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 5 176。 ， 整理得 c2－ 6 c ＋ 1 ＝ 0 ，解得 c ＝6 ＋ 22或 c ＝6 － 22. 又 c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc， ① 當(dāng) a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝6 － 22時(shí) ， 由 ① 可得 c os A ＝－12， 故 A ＝ 120176。 ； 當(dāng) a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝6 ＋ 22時(shí) ， 由 ① 可得 c os A ＝12， 故 A ＝ 60176。 . 故 A ＝ 60176。 ， C ＝ 75176。 ， c ＝6 ＋ 22或 A ＝ 120176。 ， C ＝ 15176。 ， c ＝6 － 22. [ 方法總結(jié) ] 已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)正弦定理和大邊對(duì)大角定理或余弦定理進(jìn)行判斷． 已知在 △ ABC 中， a ＝ 7 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 ，求三角形中的最大角及角 C 的正弦值． [ 解析 ] ∵ a c b ， ∴ 角 A 為最大角， 由余弦 定理有 c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝－12， ∴ A ＝ 120176。 ， ∴ sin A ＝32， 再根據(jù)正弦定理，有asin A＝csin C， ∴ sin C ＝casin A ＝5732＝5 314. 利用正、余弦定理判斷三角形形狀 在 △ ABC 中，若 sin2A ＋ sin2B sin2C ，則 △ AB C的形狀是 ( ) A ．銳角三角形 B ．直角三角形 C ．鈍角三角形 D ．不能確定 [ 思路分析 ] 所給條件為角的關(guān)系，可利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理進(jìn)行判斷． [ 規(guī)范解答 ] 由正弦定理知asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R ， ∴ sin A ＝a2 R， sin B ＝b2 R， sin C ＝c2 R. ∵ sin2A ＋ sin2B sin2C ， ∴a24 R2 ＋b24 R2 c24 R2 ， ∴ a2＋ b2 c2， ∴ c os C ＝a2＋ b2－ c22 ab0 ， ∴ C 為鈍角， ∴△ ABC 為鈍角三角形． [ 答案 ] C [ 方法總結(jié) ] 判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變形得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系．結(jié)論一般為特殊的 三角形．如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在變形過(guò)程中要注意 A ， B ， C 的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響． △ ABC 中， a2tan B ＝ b2t a n A ，則三角形的形狀是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由正弦定理得 sin2A tan B ＝ sin2B tan A ， sin A c os A ＝ sin B c os B ，即 sin2 A ＝ sin2 B . 又因?yàn)?A ， B ∈ (0 ， π) ，所以 A ＝ B 或 A ＋ B ＝ 90176。 . 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 (2020 新課標(biāo) Ⅱ ) △ AB C 的內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對(duì)邊分別為 a 、 b 、 c ，已知 a ＝ b c os C ＋ c sin B . ( Ⅰ ) 求 B ； ( Ⅱ ) 若 b ＝ 2 ，求 △ ABC 面積的最大值． [ 思路分析 ] (1) 由正弦定理轉(zhuǎn)化為運(yùn)用兩角和差的正弦可以求出 ∠ B ； (2) 由余弦定理結(jié)合面積公式求出面積的最值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 由已知及正弦定理得 sin A ＝ sin B c os C ＋ sin C si n B ， ① 又 A ＝ π － ( B ＋ C ) ， 故 sin A ＝ sin( B ＋ C ) ＝ si n B c os C ＋ c os B sin C .② 由 ① ， ② 和 C ∈ (0 ， π) 得 sin B ＝ c os B . 又
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