【文章內(nèi)容簡介】 聯(lián)系，從差別 與聯(lián)系中尋找突破口。 【典型例題】 例 1 化簡下列各三角函數(shù)式 ⑴)4(s in)4t a n (221c o s2c o s2224xxxx??????； ⑵ cos8x－ sin8x＋ 41 sin2x178。 sin4x。 例 2 ⑴證明 ? ??sin )2sin( ? － 2cos(? － ? )＝－ ??sinsin ； ⑵已知 ???tan )tan( ? ＋ ??22sinsin ＝ 1，求證 tan2? ＝ tan? 178。 tan? 。 例 3 求下列各式的值 ⑴ooooo40c os170s in )10tan31(50s in40c os ? ??； ⑵o10sin2 1＋ 4sin210176。 例 4 已知 sin(? ＋ ? )＝ 21 ， sin(? － ? )＝ 31 ，求)t a n(tan tantan)t a n( 2 ??? ???? ?? ???的值。 例 5 ? 、 ? 為銳角，且 3sin2? ＋ 2sin2? ＝ 1， 3sin2? － 2sin2? ＝ 0，求 ? ＋ 2? 的值。 【課內(nèi)練習(xí)】 1．化簡： tan? ＋ tan(2? ＋ ? )＋ ??2tan1 tan4?。 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?77 2．已知 sin? ＝ m178。 sin(2? ＋ ? )，其中 m≠ 0， 2? ＋ ? ≠ k? ，求證 tan(? ＋ ? )＝ mm??11 tan? 。 3．求下列各式的值 ⑴ (tan10176。－ 3 )178。oo50sin10cos ； ⑵o20cos1 2?－o20cos1 6?－ 64cos210176。； ⑶oo10sin10cos － 4cos10176。 4． 已知 cosα =71 ,cos(α β )＝ 1413 ，且 0β α 2π ,⑴ 求 tan2α 的值； ⑵ 求 β 。 5． 已知函數(shù) f(x)=)2sin(42cos2????????? ?xx 。⑴ 求 f(x)的定義域； ⑵ 若角 ? 在第一象限，且）。（求 afa ,53co s ? 正、余弦定理 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 能靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式解決有關(guān)三角形計(jì)算問題。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式。 【知識(shí)學(xué)習(xí)】 1．三角形中角的關(guān)系： A＋ B＋ C= 。 sin(A＋ B)= ， cos(A＋ B)= ， sin 2BA? = ， cos 2BA? = ， sin2(A＋ B)= ， cos2(A＋ B)= 。 2．三角形中邊角混合關(guān)系：⑴正弦定理： 。 變式： 。 ⑵余弦定理： ； ； ； 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?78 變式： ； ； ； ⑶△ ABC中角 C為銳角充要條件是： ； △ ABC中角 C為直角充要條件是： ； △ ABC中角 C為鈍角充要條件是： 。 3．三角形的面積公式：⑴ ； ⑵ 。 【典型例題】 例 1 在△ ABC中， a178。 tanA＋ b178。 tanB＝ (a＋ b)tan 2BA? ， 判斷 △ ABC的形狀。 例 2 在△ ABC中，求證222cba ? ＝ CBAsin )sin( ? 。 例 3 在△ ABC中，已知 BA BA tantan tantan ?? ＝ ccb? ，求角 A的值。 例 4 在 Δ ABC中， 66c os,3 64 ?? BAB ， AC邊上的中線 BD= 5 ，求 sinA的值。 【課內(nèi)練習(xí)】 1． 在△ ABC中，角 A， B， C所對的邊長分別為 a,b,c，若∠ C=120176。， 2ca? ,則 A． ab B． ab C． a=b D． a與 b的大小關(guān)系不能確定 2． 在△ ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是（ ） A. 002 0 , 4 5 , 8 0b A C? ? ? B. 030 , 28 , 60a c B? ? ? C. 014 , 16 , 45a b A? ? ? D. 012 , 15 , 120a c A? ? ? 3．△ ABC 中， a、 b、 c 分別為∠ A、∠ B、∠ C 的對邊，如果 a、 b、 c 成等差數(shù)列，∠ B=30176。，△ ABC的面積為23，那么 b等于（ ） A.231? + 3 C.232? + 3 4．在 △ ABC中，若 2 2 2 2( ) si n( ) ( ) si na b A B a b C? ? ? ?，則△ ABC是（ ） A． 等腰三角形 B． 直角三角形 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?79 C． 等腰直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形 5． 若鈍角三角形三邊長為 1a? 、 2a? 、 3a? ，則 a 的取值范圍是 。 6． 在 △ ABC中， 06 0 , 1 , 3 , s in s in s inABC abcA b S A B C??? ? ? ? ??則= 。 7． 在 ABC? 中， cba, 分別為角 CBA , 的對邊，已知 ABCc ?? ,27 的面積為 323 ，且 ta n ta n 3 ta n ta n 3A B A B? ? ? ?．求 ba? 的值。 8． 已知△ ABC中， 2 2 （ sin2A－ sin2C） =（ a－ b） sinB，△ ABC外接圓半徑為 2 . （ 1）求∠ C； （ 2）求△ ABC 面積的最大值 。 9． 在 ABC? 中，內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊長分別為 a 、 b 、 c ，已知 222a c b?? ，且si n c os 3 c os si n ,A C A C? 求 b。 10． 在△ ABC中， ,A B C? ? ? 所對的邊分別為 ,abc，若 ,abc成等比數(shù)列，且 2 c os 2 8 c os 5 0BB? ? ?，求 ∠ B的大小并判斷 △ ABC的形狀。 三角形 中 三角函數(shù)問題 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 能結(jié)合三角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，靈活應(yīng)用于數(shù)學(xué)式變化及圖形計(jì)算中。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式。 【知識(shí)學(xué)習(xí)】 1． △ ABC是等腰三角形的充要條件是 。 △ ABC是直角三角形的充要條件是 。 2．解三角形通常都要運(yùn)用 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及內(nèi)角三角函數(shù)關(guān)系。 【典型例題】 例 1 在△ ABC中，內(nèi)角 A、 B、 C對邊長分別是 a、 b、c， c＝ 2， C＝ 3? 。 ⑴若△ ABC的面積為 3 ，求 a、 b； A B C 北 45176。 15176。 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?80 ⑵若 sinC＋ sin(B－ A)＝ 2178。 sin2A，求△ ABC的面積。 例 2 甲船在 A處，乙船在 A處的南偏東 45176。方向，距 A有 9n mile并以 20n mile/h的速度沿南偏西 15176。方向航行，若甲船以 28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少 h能盡快追上乙船？ 例 3 某海輪以 30 海里 /小時(shí)的速度航行 ，在 A 點(diǎn)測得海面上油井 P 在南偏東 ?60 ，向北航行 40分鐘后到達(dá) B點(diǎn)，測得油井 P 在南偏東 ?30 ，海輪改為北偏東 ?60 的航向再行駛 80分鐘到達(dá) C點(diǎn)，求 P、 C間的距離。 例 4 已知△ ABC的三邊長都是有理數(shù)。 （ 1） 求證 cosA是有理數(shù)； （ 2）求證：對任意正整數(shù) n， cosnA是有理數(shù)。 【課內(nèi)練習(xí)】 1．在△ ABC中，角 A、 B、 C所對的邊分別是 a 、 b 、 c ，且 BC邊上的高為 2a ，則 cbbc? 的最大值為（ ） A． 22 B 2 C 2 D 4 2．在 △ ABC中，“ sin sinAB? ”是“ AB? ”的（ ） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3． ,abc分別是 ABC? 的三個(gè)內(nèi)角 ,ABC 所對的邊，則 ? ?2a b b c??是 2AB? 的（ ） A． 充要條件 B． 充分而不必要條件 C． 必要而充分條件 D． 既不充分又不必要條件 4． 在銳角 ABC? 中， 1, 2 ,BC B A??則 cosACA 的值等于 ， AC 的取值范圍為 。 5．在銳角三角形 ABC， A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c， 6 cosba Cab?? ，則tan tantan tanCCAB? = 。 A B C ?30 ?60 ?60 P 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?81 6． 在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn) E為中心的 7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域 .點(diǎn) E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站 A北偏東 45 且與點(diǎn) A相距 40 2 海里的位置 B，經(jīng)過 40分鐘又測得該船已行駛到 點(diǎn) A北偏東 45 +? (其中 sin? = 2626 ，0 90??? )且與點(diǎn) A相距 10 13 海里的位置 C。 ⑴ 求該船的行駛速度（單位：海里 /小時(shí)） 。 ⑵ 若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛 .判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由。 7．設(shè) ABC? 的內(nèi)角 A、 B、 C的對邊長分別為 a、 b、 c,且 3 2b +32c 3 2a =4 2 bc 。 ⑴ 求 sinA的值； ⑵ 求 2 s i n( ) s i n( )441 c os 2A B CA??? ? ?? 的值。 8．某港口 O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口 O北偏西 30 且與該港口相距 20海里的 A處，并以 30海里 /小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以 v 海里 /小時(shí) 的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 t小時(shí)與輪船相遇。 （ 1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ （ 2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到 30 海里 /小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r(shí)間與輪船相遇，并說明理由。 正弦、余弦 函數(shù) 的圖像與性質(zhì) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間 [0， 2? ]上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及與 x軸的交點(diǎn)等），掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 正弦、余 弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。 【知識(shí)學(xué)習(xí)】 填寫表格 正弦函數(shù) y=sinx 余弦函數(shù) y=cosx 圖 像 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?82 定義域 值 域 最 值 周期性 奇偶性 單調(diào)性