【正文】 178。 sinx＋ b（或 y=a178。 cosx＋ b）型，利用 ? ?1co s1sin ?? xx 或 ，即可求解，此時(shí)必須注意字母 a的符號(hào)對最值的影響。 （ 2） y=a178。 sinx＋ b178。 cosx 型，引入輔助角 ? ，化為 y= 22 ba ? sin（ x＋ ? ） ,利用函數(shù) ? ? 1sin ???x 即可求解。 y=a178。 sin2 x＋ b178。 sinxcosx＋ m178。 cos2 x＋ n 型亦可以化為此類。 （ 3） y=a178。 sin2 x＋ b178。 sinx＋ c（或 y=a178。 cos2 x＋ b178。 cosx＋ c），型，可令 t=sinx（ t=cosx） ,1≤ t≤ 1,化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題。 （ 4） y= dxc bxa ??sinsin （或 y= dx bxa ??coscos ）型，解出 sinx（或 cosx） ,利用? ?1c o s1s i n ?? xx 或 去解；或用分離常數(shù)的方法去解決。 （ 5） y= dxc bxa ??cossin （ y= dxc bxa ??sincos ）型，可化歸為 sin（ x＋ ? ）＝ g（ y）去處理；或者利用數(shù)形結(jié)合的方法處理。 （ 6）對于含有 sinx177。 cosx， sinx178。 cosx 的 函數(shù)的最值問題，常用的方法是令 sinx 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?90 177。 cosx=t, 2?t ,將 sinx178。 cosx 轉(zhuǎn)化為 t 的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。 【典型例題】 例 1 求下列函數(shù)的最值： ⑴ y= xx xx cossin1 cossin ?? ； ⑵ 247 4 sin c os 4 c os 4 c osy x x x x? ? ? ?； ⑶ y=3sin(x＋ 20176。 )＋ 5sin(x＋ 80176。 )； ⑷ y= xxcos2 1sin3? ? 。 例 2 已知函數(shù) 2 π( ) 2 s in 3 c o s 24f x x x??? ? ?????， π π42x ???????。 （ I）求 ()fx的最大值和最小值； （ II）若不等式 ( ) 2f x m??在 π π42x ???????，上恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 。 例 3 設(shè)函數(shù) 2 3 2( ) c o s 4 s in c o s 4 3 422xxf x x t t t t? ? ? ? ? ? ?， x?R ， 其中 1t≤ ，將 ()fx的最小值記為 ()gt 。 （ I）求 ()gt 的表達(dá)式； （ II）討論 ()gt 在區(qū)間 (11)?， 內(nèi)的單調(diào)性并求極值 。 【課內(nèi)練習(xí)】 1． 若動(dòng)直線 xa? 與函數(shù) ( ) sinf x x? 和 ( ) cosg x x? 的圖像分別交于 MN， 兩點(diǎn)，則MN 的最大值為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 2． 函數(shù) 2( ) si n 3 si n c osf x x x x?? 在區(qū)間 ,42????????上的最大值 是 ( ) 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?91 ? C. 32 + 3 3． 函數(shù) f(x)= sin 13 2 co s 2 sinxxx???(02x ??? ) 的值域是 （ ） A． [ 2,02 ] B． [1,0] C． [ 2,0 ] D． [ 3,0 ] 4． 已知 ( ) s in ( 0 )3 6 3f x x f f??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，且 ()fx在區(qū)間63????????，有最小值，無最大值，則 ? ＝ 。 5．已知函數(shù) ( ) 2 s in ( 2 )3f x a x b?? ? ?的定義域?yàn)?[0, ]2? ，值域?yàn)?[ 5,1]? ，求 ab和 的值。 6．求 下列 函數(shù)的最大、最小值 ： ⑴ (si n 2) (c os 2)y x x? ? ?； ⑵ y=cosx－ sin2x－ cos2x＋ 47 ； ⑶ y=2cos2 x＋ 3 sin2x＋ 3；⑷ y= xx2cos1 2sin2?? 。 7. 已知函數(shù) f(x)=A 2sin ( )x??? (A0,? 0,0? 2? 函數(shù)，且 y=f(x)的最大值為 2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為 2，并過點(diǎn)（ 1， 2）。 （ 1）求 ? ； （ 2）計(jì)算 f(1)+f(2)+… +f(2 008)。 三角函數(shù) 對稱性與單調(diào)性問題 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 能運(yùn)用三角函數(shù)對稱性與單調(diào)性解決與之相關(guān)的問題 。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 三角函數(shù)對稱性與單調(diào)性。 【知識(shí)學(xué)習(xí)】 填寫表格 y=sinx y=cosx y=A178。 sin(? x＋? ) y=tanx 對稱軸 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?92 對稱中心 遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 【典型例題】 例 1 已知函數(shù) 2 π( ) co s12f x x????????， 1( ) 1 sin 22g x x?? ． （ I）設(shè) 0xx? 是函數(shù) ()y f x? 圖象的一條對稱軸，求 0()gx 的值． （ II）求函數(shù) ( ) ( ) ( )h x f x g x??的單調(diào)遞增區(qū)間． 例 2 已知函數(shù) f(x)＝ )0,0)(c o s ()s i n (3 ?????? ?????? πxx 為偶函數(shù)，且函數(shù) y＝ f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 .2π （Ⅰ）求 f（ 8π ）的值； （Ⅱ）將函數(shù) y＝ f(x)的圖象 向右平移 6π 個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo) 伸 長到原來的 4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y＝ g(x)的圖象，求 g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 . 例 3 已知函數(shù) ( ) si n( )f x x????( 0, 0 )? ? ?? ? ? 是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)3( ,0)4M ? 對稱，且在區(qū)間 [0, ]2? 上是單調(diào)函數(shù)，求 ??和 的值。 【課內(nèi)練習(xí)】 1． 函數(shù) ? ?cos 2yx?＝ 3 ＋ 的圖像關(guān)于點(diǎn) 43???????， 0對稱，那么 ||? 的最小值為（ ） A． 6? B． 4? C． 3? D． 2? 2． f(x)=sin(2x+φ )+ 3 cos(2x+φ )的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的充要條件是（ ） 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?93 A． φ =2kπ－ π6 ， k∈ Z B． φ =kπ－ π6 ， k∈ Z C． φ =2kπ－ π 3 ， k∈ Z D． φ =kπ－ π3 ， k∈ Z 3． 在 ABC? 中，2??C，若函數(shù) )(xfy? 在 [0， 1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，則下列命題正確的是 ( ) A． )(cos)(cos BfAf ? B． )(sin)(sin BfAf ? C． )(cos)(sin BfAf ? D． )(cos)(sin BfAf ? 4． 設(shè)函數(shù) ( ) s in , [ , ]22f x x x x ??? ? ?，若 12( ) ( )f x f x? ，則下列不等式必定成立的 是 （ ） A． 120xx?? B． 2212xx? C． 12xx? D． 12xx? 5． 已知函數(shù) ( ) 3 sin c os ( 0)f x x x? ? ?? ? ?， ()y f x? 的圖像與直線 2y? 的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于 ? ，則 ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ） A． 5[ , ],1 2 1 2k k k Z????? ? ? B． 5 1 1[ , ],1 2 1 2k k k Z????? ? ? C． [ , ],36k k k Z????? ? ? D． 2[ , ],63k k k Z????? ? ? 6． 設(shè) ??， 是一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，則下列四個(gè)不等式中不正確的是 ( ) A． 1tantan ??? B． 2sinsin ?? ?? C． 1coscos ?? ?? D．2tan)tan (21 ???? ??? 7． 已知函數(shù) f(x )= 3 s in ( x )( 0 )6???和 g(x) =2 c os (2x + )+1?的圖象的對稱軸完全相同。若 x [0, ]2?? ，則 f(x) 的取值范圍是 。 8． 比較下列各組中兩個(gè)值的大?。? （ 1） 3cos2 ， 1sin10 ， 7cos4? ；（ 2） 3sin(sin )8? ， 3sin(cos )8? 。 9． 設(shè)函數(shù) ( ) si n( 2 ) , ( 0)f x x ? ? ?? ? ? ? ?， ()y f x? 圖象的一條對稱軸是直線 8x ?? 。 ⑴ 求 ? ； ⑵ 求函數(shù) ()y f x? 的單調(diào)增區(qū)間； 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?94 ⑶ 證明直線 5 2 0x y c? ? ? 與函數(shù) ()y f x? 的圖象不相切。 函數(shù)的周期性問題 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 理解周期函數(shù)概念，掌握三角函數(shù)的周期性，理解周期函數(shù)的圖像特點(diǎn)與性質(zhì)，能利用周期性解決有關(guān)問題。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 周期函數(shù)的概念、圖像特點(diǎn)、性質(zhì)。 【知識(shí)學(xué)習(xí)】 1．周期函數(shù)：對于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè) 值時(shí)，都有 成立，則函數(shù) y=f(x)就稱為周期函數(shù)， T 稱為這個(gè)函數(shù)的周期。 2．最小正周期：對于一個(gè)周期函數(shù) f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么 這個(gè)最小正數(shù)叫做 f(x)的最小正周期。 3．⑴若 T是周期函數(shù) f(x)的一個(gè)周期，則 n178。 T(n∈ Z 且 n≠ 0)也是 f(x)的周期。 ⑵ 周期函數(shù)的圖像每相隔 |T|個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)。 ⑶周期函數(shù)不一定有最小正周期。如函數(shù) f(x)=3。 4．⑴ y=sinx、 y=cosx 的最小正周期是 ，周期是 。 ⑵ y=tanx的最小正周期是 ，周期是 。 ⑶ y=A178。 sin(? x＋ ? )＋ B(? ≠ 0)的最小正周期是 ，周期是 。 ⑷ y=A178。 tan(? x＋ ? )＋ B(? ≠ 0)的最小正周期是 ，周期是 。 ⑸一般地，若周期函數(shù) f(x)的周期為 T，則函數(shù) a178。 f(x)＋ b(ab≠ O)的周期是 ，函數(shù) f(? x＋ ? )(? ? ≠ 0)的周期是 。 【典型例題】 例 1 求下列 函數(shù) 的最小正周期： ⑴ f(x)= 3sin(2x－ π6)+2sin2(x－ π12)；⑵ y ＝ 2 )4c os ()4c os ( ?? ?? xx ＋ x2sin3 。 編者：衡南縣第五中學(xué)龍?jiān)姶?95 例 2 已知函數(shù) 2π π( ) s in s in 2 c o s6 6 2 xf x x x x???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? R，（其中 0?? ）。 （ I）求函數(shù) ()fx的值域； （ II）若對任意的 a?R ，函數(shù) ()y f x? ， ( π]x a a??， 的圖象與直線 1y?? 有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定 ? 的值（不必證明 ），并求函數(shù) ()y f x x??R， 的單調(diào)增區(qū)間。 例 3 已知 f(x)是定義在 R 上的周期函數(shù)，其最小正周期是 2，又 f(x)是偶函數(shù)，當(dāng) x∈ [2， 3]時(shí)， f(x)＝－ 2(x－ 3)2＋ 4，求當(dāng) x∈ [1， 2]時(shí)的解析式。 例 4 已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(2－ x)＝ f(2＋ x)， f(7－ x)＝ f(7＋ x)，且在區(qū)間 [0， 7]上只有 f(1)＝ f(3)＝ 0。試求方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [－ 2022， 2022]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 【課內(nèi)練習(xí)】 1． 定義在 R上的函數(shù) )(xf 既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若 )(xf 的最小正周期 是 ? ，且當(dāng) ]2,0[ ??x 時(shí)， xxf sin)( ? ，則 )35(?f 的值為 ( ) A. 21? B. 23 C. 23? D. 21 2． 函數(shù) 2( ) s in ( 2 ) 2 2 s in4f x x x?? ? ?的最小正周期是 。 3． 已知函數(shù) 2 π( ) s in 3 s in s in2f x x x x? ? ???? ? ?????（ 0?? ）的最小正周期為 π ． ⑴ 求 ? 的值； ⑵ 求函數(shù) ()fx在區(qū)間 2π03??????，