三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一輪復習)-資料下載頁
2025-08-04 22:56本頁面
【正文】 － x ＝ 2sin2??????x ＋π4＝ 1 － cos 2??????x ＋π4＝ 1 ＋ sin 2 x ，又函數(shù) y ＝ 1 ＋ sin 2 x 的最小正周期是2π2＝ π ，結合函數(shù) y ＝ 1 ＋ sin 2 x 的圖象 ( 如圖所示 ) 可知， |15PP|＝ 2π. 答案： B 2 ． 若三角函數(shù) f ( x ) 的部分圖象如圖，則函數(shù) f ( x ) 的解析式，以及 S＝ f (1) ＋ f (2) ＋ ? ＋ f (2 012) 的值分別為 ( ) A ． f ( x ) ＝12sinπ x2＋ 1 ， S ＝ 2 012 B ． f ( x ) ＝12cosπ x2＋ 1 ， S ＝ 2 012 C ． f ( x ) ＝12sinπ x2＋ 1 ， S ＝ 2 D ． f ( x ) ＝12cosπ x2＋ 1 ， S ＝ 2 解析： 根據(jù)已知圖象，可設 f ( x ) ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) ＋ 1( ω ＞ 0 ， A ＞ 0) ． ∵由 T ＝ 4 得2πω＝ 4 ， ∴ ω ＝π2. A ＝f ? x ? 最大值 － f ? x ? 最小值2＝ － 2＝12，又f ( 0 ) ＝12si n φ ＋ 1 ＝ 1 ， ∴ s i n φ ＝ 0 得， φ ＝ 0 ， ∴ f ( x ) ＝12si nπ x2＋ 1. 又 f ( 1 ) ＋ f ( 2) ＋ f ( 3 ) ＋ f ( 4) ＝ ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＝ 4 ， ∴ S ＝ f ( 1 ) ＋ f ( 2) ＋ ? ＋ f ( 2 012) ＝ 50 3 [ f ( 1) ＋ f ( 2 ) ＋ f ( 3) ＋ f ( 4 ) ] ＝ 503 4 ＝ 2 012 . 答案： A 1 ．求下列函數(shù)的定義域： ( 1) y ＝ lg si n ( c os x ) ； ( 2) y ＝ sin x － c os x . 解 ： ( 1) 要使函數(shù)有意義 ， 必須使 sin ( c os x ) ＞ 0. ∵ － 1 ≤ c os x ≤ 1 ， ∴ 0 ＜ c os x ≤ 1. 利用單位圓中的余弦線 OM ， 依題意知 0 ＜ OM ≤ 1 ， ∴ OM 只能在 x 軸的正半軸上， ∴ 其定義域為??????????x??? －π2＋ 2 k π ＜ x ＜π2＋ 2 k π ， k ∈ Z . (2) 要使函數(shù)有意義，必須使 sin x － cos x ≥ 0. 利用圖象．在同一坐標系中畫出 [0 , 2 π ] 上 y ＝ sin x 和 y ＝ cos x 的圖象，如圖所示． 在 [0 , 2 π ] 內(nèi)，滿足 sin x ＝ cos x 的 x 為π4， 5π4，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2π ，所以定義域為 ??????x??? π4＋ 2 k π ≤ x ≤5π4＋ 2 k π ， k ∈ Z . 2 ．寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期： (1) y ＝ sin??????－ 2 x ＋π3 ； (2) y ＝ |tan x |. 解： (1) y ＝－ sin??????2 x －π3， 它的增區(qū)間是 y ＝ sin??????2 x －π3的減區(qū)間， 它的減區(qū)間是 y ＝ sin??????2 x －π3的增區(qū)間． 由 2 k π －π2≤ 2 x －π3≤ 2 k π ＋π2， k ∈ Z ， 得 k π －π12≤ x ≤ k π ＋5π12， k ∈ Z. 由 2 k π ＋π2≤ 2 x －π3≤ 2 k π ＋3π2， k ∈ Z ， 得 k π ＋5π12≤ x ≤ k π ＋1 1π12， k ∈ Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為??????k π －π12， k π ＋5π12， k ∈ Z ； 增區(qū)間為??????k π ＋5π12， k π ＋1 1π12， k ∈ Z. 最小正周期 T ＝2π2＝ π. (2) 觀察圖象可知， y ＝ |tan x |的增區(qū)間是??????k π ， k π ＋π2 ， k ∈ Z ，減區(qū)間是??????k π －π2 ， k π ， k ∈ Z. 最小正周期： T ＝ π. 3 ．求下列函數(shù)的值域： (1) y ＝cos x ＋ 52 － cos x； (2) y ＝ sin 2 x － 4sin x ＋ 5. 解： (1) 由 y ＝cos x ＋ 52 － cos x，得 cos x ＝2 y － 5y ＋ 1. 因為－ 1 ≤ cos x ≤ 1 ， 所以－ 1 ≤2 y － 5y ＋ 1≤ 1 ，解得43≤ y ≤ 6. 因此，原函數(shù)的值域為??????43， 6 . (2) y ＝ sin 2 x － 4sin x ＋ 5 ＝ (sin x － 2) 2 ＋ 1. 因為－ 1 ≤ sin x ≤ 1 ，所以 2 ≤ y ≤ 10. 因此，原函數(shù)的值域為 [2 , 1 0 ] ． 4 ．設函數(shù) f ( x ) ＝ 3sin??????ωx ＋π6， ω ＞ 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，且以π2為最小正周期． (1) 求 f (0) ； (2) 求 f ( x ) 的解析式； (3) 已知 f ??? ???α4 ＋ π12 ＝ 95 ，求 sin α 的值． 解： (1) 由題設可知 f (0) ＝ 3sinπ6＝32. (2) ∵ f ( x ) 的最小正周期為π2， ∴ ω ＝2ππ2＝ 4. ∴ f ( x ) ＝ 3sin??????4 x ＋π6. (3) ∵ f??????α4＋π12＝ 3sin??????α ＋π3＋π6＝ 3cos α ＝95， ∴ cos α ＝35， ∴ sin α ＝ 177。 1 － cos2α ＝ 177。45.
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