三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一輪復習)-文庫吧
2025-07-20 22:56 本頁面
【正文】 x ∈ R 的最小 正周期為 ________ ． 5 ． 函數(shù) y ＝ 3 － 2cos??????x ＋π4的最大值為 ____________ ，此時x ＝ ____________. 解析： 函數(shù) y ＝ 3 － 2cos??????x ＋π4的最大值為 3 ＋ 2 ＝ 5 ，此時 x ＋π4＝ π ＋ 2 k π ，即 x ＝3π4＋ 2 k π( k ∈ Z) ． 答案： 5 3π4 ＋ 2 k π( k ∈ Z) 三角函數(shù)的定義域和值域 [ 例 1] (1) 求函數(shù) y ＝ lg(2sin x － 1) ＋ 1 － 2cos x 的定義域； (2) 求函數(shù) y ＝ 2cos 2 x ＋ 5sin x － 4 的值域． [ 自主解答 ] (1) 要使函數(shù)有意義，必須有 ????? 2sin x － 10 ，1 － 2cos x ≥ 0 ，即????? sin x 12，cos x ≤12， 解得????? π6＋ 2 k π x 5π6＋ 2 k π ，π3＋ 2 k π ≤ x ≤5π3＋ 2 k π( k ∈ Z) ， 即π3＋ 2 k π ≤ x ＜5π6＋ 2 k π( k ∈ Z) ． 故所求函數(shù)的定義域為??????π3＋ 2 k π ，5π6＋ 2 k π ( k ∈ Z) ． (2) y ＝ 2cos2x ＋ 5sin x － 4 ＝ 2(1 － sin2x ) ＋ 5sin x － 4 ＝－ 2sin2x ＋ 5sin x － 2 ＝－ 2??????sin x －542＋98. 故當 sin x ＝ 1 時， ymax＝ 1 ， 當 sin x ＝－ 1 時， ymin＝－ 9 ， 故 y ＝ 2cos2x ＋ 5sin x － 4 的值域為 [ － 9 , 1 ] ． ————— ———————————— —————————————————————————— 1 ． 三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． 2 ． 三角函數(shù)值域的求法 求解三角函數(shù)的值域 ( 最值 ) 常見到以下幾種類型的題目： ( 1 )形如 y ＝ a s i n x ＋ b c os x ＋ c 的三角函數(shù)化為 y ＝ A s i n( ωx ＋ φ ) ＋ k 的形式，再求最值 ( 值域 ) ； ( 2 ) 形如 y ＝ a si n2x ＋ b si n x ＋ c 的三角函數(shù)，可先設 s i n x ＝ t ，化為關于 t 的二次函數(shù)求值域 ( 最值 ) ； ( 3 ) 形如 y＝ a s i n x cos x ＋ b ( s i n x 177。 co s x ) ＋ c 的三角函數(shù)，可先設 t ＝ si n x 177。 cos x ，化為關于 t 的二次函數(shù)求值域 ( 最值 ) ． 1 ． (1) 求函數(shù) y ＝ 2 ＋ log12x ＋ tan x 的定義域； ( 2) 設 a ∈ R ， f ( x ) ＝ c os x ( a sin x － c os x ) ＋ c os2??????π2－ x 滿足f??????－π3＝ f ( 0) ，求函數(shù) f ( x ) 在??????π4，1 1π24上的最大值和最小值． 解： ( 1) 要使函數(shù)有意義 則????????? 2 ＋ log12x ≥ 0 ，x ＞ 0 ，t an x ≥ 0 ，x ≠ k π ＋π2? k ∈ Z ? ，即????? 0 ＜ x ≤ 4 ，k π ≤ x ＜ k π ＋π2? k ∈ Z ? . 利用數(shù)軸可得： 所以函數(shù)的定義域是 ????? ?????x | 0 ＜ x ＜ π2 或 π ≤ x ≤ 4 . (2) f ( x ) ＝ cos x ( a sin x － cos x ) ＋ cos2??????π2－ x ＝ a sin x cos x － cos2x ＋ sin2x ＝a2sin 2 x － cos 2 x . 由于 f??????－π3＝ f (0) ， 所以a2 sin??????－2π3－ cos??????－2π3＝－ 1 ， 即－34a ＋12＝－ 1 ，得 a ＝ 2 3 . 于是 f ( x ) ＝ 3 sin 2 x － cos 2 x ＝ 2sin??????2 x －π6. 由于 x ∈??????π4，11 π24， 所以 2 x －π6∈??????π3，3 π4， 因此當 2 x －π6＝π2即 x ＝π3時 f ( x ) 取得最大值 f??????π3＝ 2 ， 當 2 x －π6＝3π4即 x ＝1 1π24時 f ( x ) 取得最小值 f??????1 1π24＝ 2 . 三角函數(shù)的單調(diào)性 [ 例 2] 求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間： (1) y ＝ 2sin??????x －π4； (2) y ＝ tan ??? ???π3 － 2 x . [ 自主解答 ] (1) 由 2 k π ＋π2≤ x －π4≤ 2 k π ＋3π2， k ∈ Z ， 得 2 k π ＋3π4≤ x ≤ 2 k π ＋7π4， k ∈ Z. 故函數(shù) y ＝ 2sin??????x －π4的單調(diào)減區(qū)間為 ??????2 k π ＋3π4， 2 k π ＋7π4( k ∈ Z) ． ( 2) 把函數(shù) y ＝ t an??????π3－ 2 x 變?yōu)?y ＝－ t an??????2 x －π3. 由 k π －π22 x －π
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