高三文科數(shù)學一輪復習題庫-導數(shù)和三角函數(shù)-資料下載頁
2025-08-09 18:00本頁面
【正文】 x1有實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為{x|x0},f′(x)=x(2ln x+1).令f′(x)=x(2ln x+1)0,得2ln x+10,即x。令f′(x)=x(2ln x+1)0,得2ln x+10,即0x,所以當x∈（0,）時,f(x)單調遞減。當x∈(,+∞)時,f(x)單調遞增.(2)由f(x)=kx1得x2ln x=kx1,所以有k=xln x+ (x0),設g(x)=xln x+,g′(x)=ln x+,g′(1)=0,當0x1時,g′(x)0,g(x)單調遞減。當x1時,g′(x)0,g(x)單調遞增,所以x0時,g(x)min=g(1)=1.所以k≥1,k的取值范圍是[1,+∞).5.(2014四川高考)已知函數(shù)f(x)=exax2bx1,其中a,b∈R,e= 28…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點,求a的取值范圍.【解題提示】本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,函數(shù)的零點等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想,并考查思維的嚴謹性.【解析】(1)因為f(x)=exax2bx1,所以g(x)=f′(x)=ex2axb,又g′(x)=ex2a,因為x∈[0,1],1≤ex≤e,所以:①若a≤,則2a≤1,g′(x)=ex2a≥0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增,g(x)min=g(0)=1b.②若a,則12ae,于是當0≤x≤ln(2a)時,g′(x)=ex2a≤0,當ln(2a)x≤1時,g′(x)=ex2a0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單調遞減,在區(qū)間(ln(2a),1]上單調遞增,g(x)min=g(ln(2a))=2a2aln(2a)b.③若a≥,則2a≥e,g′(x)=ex2a≤0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減,g(x)min=g(1)=e2ab.綜上所述,當a≤時,g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=g(0)=1b。當a時,g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=g(ln(2a))=2a2aln(2a)b。當a≥時,g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=g(1)=e2ab.(2)由f(1)=0?eab1=0?b=ea1,又f(0)=0,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內不可能單調遞增,也不可能單調遞減,由(1)知當a≤或a≥時,函數(shù)g(x)即f′(x)在區(qū)間[0,1]上單調,不可能滿足上述要求.故只有a,此時g(x)min=2a2aln(2a)b=3a2aln(2a)e+1,令h(x)=xxln xe+1(1xe),則h′(x)=ln x.由h′(x)=ln x0?x,所以h(x)在區(qū)間(1,)上單調遞增,在區(qū)間(,e)上單調遞減,h(x)max=h()=lne+1=e+10,即g(x)min0恒成立,因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內不可能單調遞增,也不可能單調遞減,所以解得又a,所以e2a1,綜上,a的取值范圍為(e2,1).
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