北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)61數(shù)列的概念與簡單表示法(完整版)
【正文】 f ( 2) ． 所有等式左右兩邊分別相加，代入 a1得 an. 2 ．已知 a1且anan － 1＝ f ( n )( n ≥ 2) ，可以用 “ 累乘法 ” ， 即anan － 1＝ f ( n ) ，an － 1an － 2＝ f ( n － 1) ， ? ，a3a2＝ f ( 3) ，a2a1＝ f ( 2) ，所有等式左右兩邊分別相乘，代入 a1得 an. 提醒： 并不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，那么它的通項(xiàng)公式在形式上也可以不止一個(gè)． 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列 { an} 的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式． ( 1) a1＝ 1 ， an＝ an － 1＋ 3n － 1( n ≥ 2) ； ( 2) a1＝ 1 ， an＝n － 1nan － 1( n ≥ 2) ． [ 解析 ] ( 1) ∵ an＝ an － 1＋ 3n － 1， ∴ an－ an － 1＝ 3n － 1， an － 1－ an － 2＝ 3n － 2， an － 2－ an － 3＝ 3n － 3， ? a2－ a1＝ 31. 以上 n － 1 個(gè)等式兩邊分別相加得 an＝ a1＋ 31＋ 32＋ ? ＋ 3n － 1＝ 1 ＋ 3 ＋ 32＋ ? ＋ 3n － 1 ＝3n－ 12. ( 2) ∵ an＝n － 1nan － 1( n ≥ 2) ， ∴anan － 1＝n － 1n，an － 1an － 2＝n － 2n － 1，an － 2an － 3＝n － 3n － 2， ? a2＝12a1. 以上 n － 1 個(gè)式子等式兩邊分別相乘得 an＝ a1 3n － 1. ( 理 ) 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ n2－ 2 n ＋ 2 ， n ∈ N ＋ ，則它的通項(xiàng)公式為 ________ ． [ 答案 ] a n ＝????? 1 ， n ＝ 12 n － 3 ， n ≥ 2 [ 解析 ] 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ 1 ； 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn － 1＝ n2－ 2 n ＋ 2 － ( n － 1)2＋ 2( n － 1)－ 2 ＝ n2－ 2 n － n2＋ 2 n － 1 ＋ 2 n － 2 ＝ 2 n － 3 ， 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， 2 1 － 3 ＝－ 1 ≠ 1 ， ∴ an＝????? 1 ， n ＝ 12 n － 3 ， n ≥ 2. 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 ( 理 ) 已知數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式 an＝ ( n ＋ 1) (910)n－ ( n － 1 ＋ 1) [ ( n ＋ 1) (910)n，則有 an－ an ＋ 1＝ ( n ＋ 1) 23 a1 ＝??????121 ＋ 2 ＋ ? ＋ ( n － 1)＝??????12 ∴ an＝??????12 ?n－ 1?n2 ?n－ 1?n2 解法 2 ： 由 2n － 1an＝ an － 1得 an＝??????12n － 1an － 1 ∴ an＝??????12n － 1an － 1＝??????12n － 1? 3＋ ? ＋15 7( 負(fù)值舍去 ) ， 所以 是數(shù)列 {n2n2＋ 1} 的第 7 項(xiàng)． 課堂典例講練 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)45，12，411，27， ? ； ( 2) 1,3,6,10,15 ， ? ； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164， ? ； (4) 3,33,333,3 333 ， ? . 由數(shù)列的前幾項(xiàng)探索數(shù)列的通項(xiàng)公式 [ 思考分析 ] 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系及項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的聯(lián)系． [ 規(guī)范解答 ] (1) 注意到前四項(xiàng)中兩項(xiàng)分子均為 4 ，不妨把分子都統(tǒng)一為 4 ，即45，48，411，414， ? ， 因而有 an＝43 n ＋ 2. (2) 注意到 6 ＝ 2 3,1 0 ＝ 2 5,15 ＝ 3 5 ，規(guī)律還不明顯，再把各項(xiàng)同乘以 2 ，即1 22，2 32，3 42，4 52，5 62， ? ，因而有 an＝n ? n ＋ 1 ?2. (3) 各項(xiàng)的分母分別為 21,22,23,24， ? 易看出第
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