北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)33定積分與微積分基本定理(完整版)
【正文】 x ＝ ln2 ，于是當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x )的變化情況如下表： x ( － ∞ ， ln2) ln2 ( ln2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞減 ↘ 2( 1 － ln2 ＋ a ) 單調(diào)遞增 故 f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( － ∞ ， ln2 ] ，單調(diào)遞增區(qū)間是[ ln2 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) 在 x ＝ ln2 處取得極小值，極小值為 f ( ln2) ＝ el n 2－ 2ln2＋ 2 a ＝ 2( 1 － ln2 ＋ a ) ． ( 2) 證明：設(shè) g ( x ) ＝ ex－ x2＋ 2 ax － 1 ， x ∈ R ， 于是 g ′ ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R . 由 ( 1) 知當(dāng) a ln2 － 1 時(shí)， g ′ ( x ) 的最小值為 g ′ ( ln2) ＝ 2( 1 － ln2 ＋ a ) 0. 于是對(duì)任意 x ∈ R ， 都有 g ′ ( x ) 0 ， 所以 g ( x ) 在 R 內(nèi)單調(diào)遞增． 于是當(dāng) a ln2 － 1 時(shí)，對(duì)任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) g ( 0) ． 而 g ( 0) ＝ 0 ，從而對(duì)任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， g ( x ) 0 ， 即 ex－ x2＋ 2 ax － 1 0 ，故 ex x2－ 2 ax ＋ 1. [ 方法總結(jié) ] 利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式 f ( x ) g ( x ) 在區(qū)間 D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù) h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù) h ( x ) 0 ，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù) h ( x ) 什么時(shí)候可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口． ( 2020 北京高考 ) 設(shè) L 為曲線 C ： y ＝ln xx在點(diǎn) ( 1,0) 處的切線． ( 1) 求 L 的方程； ( 2) 證明：除切點(diǎn) ( 1,0) 之外，曲線 C 在直線 L 的下方． [ 解析 ] ( 1) 設(shè) f ( x ) ＝ln xx，則 f ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 . 所以 f ′ ( 1) ＝ 1. 所以 L 的方程為 y ＝ x － 1. ( 2) 令 g ( x ) ＝ x － 1 － f ( x ) ，則除切點(diǎn)之外，曲線 C 在直線 L的下方等價(jià)于 g ( x ) 0 ( ? x 0 ， x ≠ 1) ． g ( x ) 滿足 g ( 1 ) ＝ 0 ，且 g ′ ( x ) ＝ 1 － f ′ ( x ) ＝x2－ 1 ＋ ln xx2 . 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， x2－ 1 0 ， ln x 0 ，所以 g ′ ( x ) 0 ，故 g ( x ) 單調(diào)遞減； 當(dāng) x 1 時(shí)， x2－ 1 0 ， ln x 0 ，所以 g ′ ( x ) 0 ，故 g ( x ) 單調(diào)遞增． 所以， g ( x ) g ( 1) ＝ 0( ? x 0 ， x ≠ 1) ． 所以除切點(diǎn)之外，曲線 C 在直線 L 的下方 . 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 某集團(tuán)為 了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi) t ( 百萬(wàn)元 ) 可增加銷售額約為－ t2＋ 5 t ( 百萬(wàn)元 )(0 ≤ t ≤ 5) ． (1) 若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在三百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？ ( 2) 現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入 300 萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi) x ( 百萬(wàn)元 ) ，可增加的銷售額約為－13x3＋ x2＋ 3 x ( 百萬(wàn)元 ) ．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大？ ( 注：收益＝銷售額－投入 ) ． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 設(shè)投入 t ( 百萬(wàn)元 ) 的廣告費(fèi)后增加的收益為 f ( t )( 百萬(wàn)元 ) ，則有 f ( t ) ＝ ( － t2＋ 5 t ) － t ＝－ t2＋ 4 t ＝－ ( t － 2)2＋ 4 (0 ≤ t ≤ 3) ， ∴ 當(dāng) t ＝ 2 百萬(wàn)元時(shí)， f ( t ) 取得最大值 4 百萬(wàn)元． 即投入 2 百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大． ( 2) 設(shè)用于技術(shù)改造的資金為 x ( 百萬(wàn)元 ) ，則用于廣告促銷的資金為 (3 － x )( 百萬(wàn)元 ) ，又設(shè)由此獲得的收益是 g ( x ) ，則有g(shù) ( x ) ＝ ( －13x3＋ x2＋ 3 x ) ＋ [ － (3 － x )2＋ 5( 3 － x )] － 3 ＝－13x3＋ 4 x＋ 3 (0 ≤ x ≤ 3) ， ∴ g ′ ( x ) ＝－ x2＋ 4. 令 g ′ ( x ) ＝ 0 解得 x ＝－ 2( 舍去 ) 或 x ＝ 2 ， 當(dāng) 0 ≤ x 2 時(shí)， g ′ ( x ) 0 ，當(dāng) 2 x ≤ 3 時(shí)， g ′ ( x ) 0 ， 故 g ( x ) 在 [ 0,2] 上是增函數(shù)，在 [ 2,3] 上是減函數(shù)． 所以當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， g ( x ) 取最大值，即將 2 百萬(wàn)元用于技術(shù)改造， 1 百萬(wàn)元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大． [ 方法總結(jié) ] 1. 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 在求實(shí)際問(wèn)題中的最值時(shí)，一般要先恰當(dāng)?shù)倪x擇變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)加以解決．注意檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際是否相符． 2 ．實(shí)際問(wèn)題中的最值 根據(jù)實(shí)際意義，函數(shù)存在最值，而函數(shù)只有一個(gè)極值，則函數(shù)的極值就是最值． 已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的成本為 c ＝ 25
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