北師大版高考數學一輪總復習33定積分與微積分基本定理-資料下載頁
2024-11-18 18:07本頁面
【導讀】2．會利用導數解決某些實際問題.類討論和數形結合等思想方法的考查.f，在[a，b]上________有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，求最大值與最小值的步驟：設函數f在[a，b]上連續(xù)，①求f在(a，b)內的________值；－6x＝0，得x＝0或x＝±顯然a>0，f′＝3(x＋a)(x－a)，由已知條件0<a<1，解得0<a<1.[解析]設圓柱形金屬飲料罐的底面半徑為R，高為h.[規(guī)范解答]f的定義域為，)時，F′<0，F是減少的；時，F在[a,2a]上是增加的，
【正文】 25 000 ＋ 200 x ＋140x2( 元 ) ． ( 1) 要使平均成本最低，應生產多少件產品？ ( 2) 若產品以每件 500 元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品？ [ 解析 ] ( 1) 設平均成本為 y 元，則 y ＝25 000 ＋ 200 x ＋140x2x＝25 000x＋ 200 ＋x40( x 0 ) ， y ′ ＝??????25 000x＋ 200 ＋x40′ ＝－25 000x2 ＋140. 令 y ′ ＝ 0 ，得 x1＝ 1 000 ， x2＝－ 1 000( 舍去 ) ． 當在 x ＝ 1 000 附近左側時， y ′ 0 ； 在 x ＝ 1 000 附近右側時， y ′ 0 ； 故當 x ＝ 1 000 時， y 取得極小值． 由于函數只有一個極小值點，那么函數在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應生產 1 000 件產品． ( 2) 利潤函數為 L ＝ 500 x － ( 25 000 ＋ 200 x ＋x240) ＝ 300 x － 25 000 －x240. ∴ L ′ ＝ 300 －x20. 令 L ′ ＝ 0 ，得 x ＝ 6 000 ，當 x 在 6 000 附近左側時， L ′ 0 ；當 x 在 6 000 附近右側時， L ′ 0 ；故當 x ＝ 6 000 時， L 取得極大值． 由于函數只有一個使 L ′ ＝ 0 的點，且函數在該點有極大值，那么函數在該點取得最大值．因此，要使利潤最大，應生產 6 000 件產品． [ 點評 ] 本題第 ( 1) 問也可用均值不等 式求解． 易 錯 警 示 思想方法錯誤 已知 f ( x ) ＝ ax － ln x ， x ∈ (0 ， e ] ， g ( x ) ＝ln xx，其中 e 是自然對數的底數， a ∈ R . ( 1) 討論當 a ＝ 1 時，函數 f ( x ) 的單調性和極值； ( 2) 求證：在 ( 1) 的條件下， f ( x ) g ( x ) ＋12. [ 錯解 ] ( 1) ∵ f ( x ) ＝ x － ln x ， f ′ ( x ) ＝ 1 －1x＝x － 1x， ∴ 當 0 x 1 時， f ′ ( x ) 0 ，此時 f ( x ) 單調遞減； 當 1 x e 時， f ′ ( x ) 0 ，此時 f ( x ) 單調遞增． ∴ f ( x ) 的極小值為 f ( 1) ＝ 1. ( 2) 令 H ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) －12， 則 H ( x ) ＝ x － ln x －ln xx－12，其中 0 x ≤ e. H ′ ( x ) ＝ 1 －1x－1 － ln xx2 ，由 H ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. ∴ H ( x ) 在 x ＝ 1 處取得最小值 H ( 1) ＝12 0. ∴ f ( x ) － g ( x ) －120 ，即 f ( x ) g ( x ) ＋12. [ 錯因分析 ] 本題的第 ( 2) 問中構造函數后不便于利用導數研究其單調性，通過觀察得出 x ＝ 1 時 H ′ ( x ) ＝ 0 ，并不能嚴密地判斷 H ( x ) 在 x ＝ 1 處取得最小值． [ 正確解答 ] ( 1) ∵ f ( x ) ＝ x － ln x ， f ′ ( x ) ＝ 1 －1x＝x － 1x， ∴ 當 0 x 1 時， f ′ ( x ) 0 ，此時 f ( x ) 單調遞減； 當 1 x e 時， f ′ ( x ) 0 ，此時 f ( x ) 單調遞增． ∴ f ( x ) 的極小值為 f ( 1) ＝ 1. ( 2) ∵ f ( x ) 的極小值為 1 ，即 f ( x ) 在 (0 ， e] 上的最小值為 1 ， ∴ f ( x )m in＝ 1 ，又 g ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 ， ∴ 0 x e 時， g ′ ( x ) 0 ， g ( x ) 在 (0 ， e] 上單調遞增． ∴ g ( x )m ax＝ g ( e ) ＝1e12， ∴ f ( x )m in－ g ( x )m a x12， ∴ 在 ( 1) 的條件下， f ( x ) g ( x ) ＋12. [ 誤區(qū)警示 ] 利用構造函數法解決不等式問題時，應注意所構造的函數便于 求導，利于研究，否則無法進行下去．對于函數的綜合問題應多與函數的單調性與最值緊密聯系 . 名 師 點 睛 兩個注意 (1) 注意實際問題中函數定義域的確定． (2) 在實際問題中，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數值比較． 三個防范 ( 1) 求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論；另外注意函數最值是個 “ 整體 ” 概念 ，而極值是個 “ 局部 ” 概念． ( 2) f ′ ( x0) ＝ 0 是 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0取極值的既不充分也不必要條件． 如 ① y ＝ | x |在 x ＝ 0 處取得極小值，但在 x ＝ 0 處不可導； ② f ( x ) ＝ x3， f ′ ( 0) ＝ 0 ，但 x ＝ 0 不是 f ( x ) ＝ x3的極值點． ( 3) 若 y ＝ f ( x ) 可導，則 f ′ ( x0) ＝ 0 是 f ( x ) 在 x ＝ x0處取極值的必要條件．
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