定積分與微積分基本定理練習(xí)題-資料下載頁
2025-01-09 00:22本頁面
【正文】 的圖象以及直線 l l2與函數(shù) f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如圖 K15－ 3，設(shè)這兩個(gè)陰影區(qū)域的面積之和為 S(t)． (1)求函數(shù) S(t)的解析式； (2)定義函數(shù) h(x)＝ S(x)， x∈ A(1， m)(m≠4) 可作曲線 y＝ h(x)(x∈ R)的三條切線，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 解析 (1)由 ??? y＝ 3x2－ 3x，y＝ 3tx 得 x2－ (t＋ 1)x＝ 0， 所以 x1＝ 0， x2＝ t＋ 1. 所以直線 l2與 f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 0， t＋ 1. 因?yàn)?0t1，所以 1t＋ 12. 所以 S(t)＝ ∫ t＋ 10 [3tx－ (3x2－ 3x)]dx＋ ??2t＋ 1[(3x2－ 3x)－ 3tx]dx ＝ ?????? ???＋2 x2－ x3 t＋ 10 ＋ ?????? ???x3－ ＋2 x2 2t＋ 1 ＝ (t＋ 1)3－ 6t＋ 2. (2)依據(jù)定義， h(x)＝ (x＋ 1)3－ 6x＋ 2， x∈ R， 則 h′( x)＝ 3(x＋ 1)2－ 6. 因?yàn)?m≠4 ，則點(diǎn) A(1， m)不在曲線 y＝ h(x)上． 過點(diǎn) A 作曲線 y＝ h(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為 M(x0， y0)， 則 3(x0＋ 1)2－ 6＝ x0＋3－ 6x0＋ 2－ mx0－ 1 ， 化簡整理得 2x30－ 6x0＋ m＝ 0，其有三個(gè)不等實(shí)根． 設(shè) g(x0)＝ 2x30－ 6x0＋ m，則 g′( x0)＝ 6x20－ 6. 由 g′( x0)0，得 x01 或 x0－ 1； 由 g′( x0)0，得－ 1x01， 所以 g(x0)在區(qū)間 (－ ∞ ，－ 1)， (1，＋ ∞) 上單調(diào)遞增，在 (－ 1,1)上單調(diào)遞減， 所以當(dāng) x0＝－ 1 時(shí)，函數(shù) g(x0)取極大值； 當(dāng) x0＝ 1 時(shí)，函數(shù) g(x0)取極小值． 因此，關(guān)于 x0 的方程 2x30－ 6x0＋ m＝ 0 有三個(gè)不等實(shí)根的充要條件是??? g － ，g ， 即 ??? m＋ 40，m－ 40， 即－ 4m4. 故實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 (－ 4,4)．!
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