北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)92兩直線的位置關(guān)系與距離公式(完整版)
【正文】 D 關(guān)于 y軸的對稱點為 D ′ ，則直線 A ′ D ′ 經(jīng)過點 B 與 C . [ 規(guī)范解答 ] 作出草圖，如圖所示．設(shè) A 關(guān)于直線 y ＝ x 的對稱點 A ′ ， D 關(guān)于 y 軸的對稱點為 D ′ ，則易得 A ′ ( － 2 ，－ 4) ，D ′ ( 1,6) ．由入射角等于反射角可得 A ′ D ′ 所在直線經(jīng)過點 B 與C ，故 BC 所在的直線方程為y － 66 ＋ 4＝x － 11 ＋ 2，即 10 x － 3 y ＋ 8 ＝ 0. [ 方法總結(jié) ] 解決這類對稱問題要抓住兩條：一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上． 求直線 l1： y ＝ 2 x ＋ 3 關(guān)于直線 l ： y ＝ x ＋ 1 對稱的直線 l2的方程． [ 分析 ] 轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線 的對稱，利用方程組求解． [ 解析 ] 解法 1 ：由????? y ＝ 2 x ＋ 3y ＝ x ＋ 1得直線 l1與 l2的交點坐標(biāo)為( － 2 ，－ 1) ， 在 l1上取一點 A (0,3) ，則 A 關(guān)于直線 l的對稱點 B ( x1， y1) 一定在 l2上， 由??????? y1－ 3x1＝－ 1y1＋ 32＝x12＋ 1得????? x1＝ 2y1＝ 1，即 B (2,1) ． ∴ l2的方程為 y － 1 ＝1 ＋ 12 ＋ 2( x － 2) ．即 x － 2 y ＝ 0. 解法 2 ：設(shè)所求直線上一點 P ( x ， y ) ， 則在直線 l1上必存在一點 P1( x0， y0) 與點 P 關(guān)于直線 l對稱． 由題設(shè)：直線 PP1與直線 l垂直，且線段 PP1的中點P2????????x ＋ x02，y ＋ y02在直線 l上． ∴??????? y0－ yx0－ x1 ＝－ 1y ＋ y02＝x ＋ x02＋ 1，變形得????? x0＝ y － 1y0＝ x ＋ 1， 代入直線 l1： y ＝ 2 x ＋ 3 得 x ＋ 1 ＝ 2 ( y － 1) ＋ 3 ， 整理得 x － 2 y ＝ 0. 所以所求直線方程為 x － 2 y ＝ 0. 解法 3 ：由????? y ＝ 2 x ＋ 3y ＝ x ＋ 1知直線 l1與 l的交點坐標(biāo)為 ( － 2 ，－1) ， ∴ 設(shè)直線 l2的方程為 y ＋ 1 ＝ k ( x ＋ 2) ， 即 kx － y ＋ 2 k － 1 ＝ 0. 在直線 l上任取一點 (1,2) ， 由題設(shè)知點 (1,2) 到直線 l l2的距離相等， 由點到直線的距離公式得 | k － 2 ＋ 2 k － 1|12＋ k2＝|2 － 2 ＋ 3|22＋ ? － 1 ?2， 解得 k ＝12( k ＝ 2 舍去 ) ， ∴ 直線 l2的方程為 x － 2 y ＝ 0. 易 錯 警 示 忽略對斜率是否存在的討論 已知直線 l1： ( t ＋ 2) x ＋ (1 － t ) y ＝ 1 與 l2： ( t － 1) x＋ (2 t ＋ 3) y ＋ 2 ＝ 0 互相垂直，則 t 的值為 ________ ． [ 錯解 ] 直線 l1的斜率 k1＝－t＋ 21 － t， 直線 l2的斜率 k2＝－t－ 12 t＋ 3， ∵ l1⊥ l2， ∴ k1 ( －t－ 12 t＋ 3 ?＝－ 1 ，解得 t＝－ 1. [ 錯因分析 ] l1⊥ l2? k1 k2＝－ 1 2.x1＋ x22 y1＋ y22 3 ．相交 平行 重合 4 ． ( 1) ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2 ( 2)| Ax0＋ By0＋ C |A2＋ B2 ( 3)| C1－ C2|A2＋ B2 基
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