北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87空間向量及其運(yùn)算(完整版)
【正文】 1中， P 是 CA1的中點(diǎn)， M 是 CD1的中點(diǎn)， N是 C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn) Q 在 CA1上，且 CQ : QA1＝ 4 : 1 ，設(shè) AB→＝ a ，AD→＝ b ， AA1→＝ c ，用基底 { a ， b ， c } 表示以下向量： ( 1) AP→； ( 2) AM→； ( 3) AN→； ( 4) AQ→. [ 錯(cuò)因分析 ] 解本題易出錯(cuò)的地方就是對(duì)空間向量加減的運(yùn)算，特別是減法運(yùn)算理解不清，如把 CA1→誤認(rèn)為是 AC→－AA1→；另一個(gè)錯(cuò)誤是向量的數(shù)乘表示不準(zhǔn)，如把 CQ→＝45CA1→，誤認(rèn)為 CQ→＝34CA1→. [ 正確解答 ] 連接 AC ， AD1. ( 1) AP→＝12( AC→＋ AA1→) ＝12( AB→＋ AD→＋ AA1→) ＝12( a ＋ b ＋ c ) ． ( 2) AM→＝12( AC→＋ AD1→) ＝12( AB→＋ 2 AD→＋ AA1→) ＝12( a ＋ 2 b ＋ c ) ． ( 3) AN→＝12( AC1→＋ AD1→) ＝12[( AB→＋ AD→＋ AA1→) ＋ ( AD→＋ AA1→)] ＝12( AB→＋ 2 AD→＋ 2 AA1→) ＝12( a ＋ 2 b ＋ 2 c ) ＝12a ＋ b ＋ c . ( 4) AQ→＝ AC→＋ CQ→＝ AC→＋45( AA1→－ AC→) ＝15AC→＋45AA1→＝15AB→＋15AD→＋45AA1→＝15a ＋15b ＋45c . [ 誤區(qū)警示 ] 空間向量的概念及運(yùn)算是由平面向量延伸而來(lái)的，要用類比的思想去掌握．在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算中，往往是選擇適當(dāng)?shù)南蛄孔鳛榛祝没蛄勘硎境鱿嚓P(guān)向量后進(jìn)行向量運(yùn)算，同時(shí)再以圖形為指導(dǎo)對(duì)有關(guān)向量進(jìn)行分解 . 名 師 點(diǎn) 睛 一種方法 用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般方法步驟是： (1) 適當(dāng)?shù)倪x取基底 { a ， b ， c } ； (2) 用 a ， b ， c 表示相關(guān)向量； (3) 通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題． 兩個(gè)理解 (1) 共線向量定理還可以有以 下幾種形式： ① a ＝ λ b ? a ∥ b ； ② 空間任意兩個(gè)向量，共線的充要條件是存在 λ ， μ ∈ R使 λ a ＝ μ b . ③ 若 OA→， OB→不共線，則 P ， A ， B 三點(diǎn)共線的充要條件是 OP→＝ λ OA→＋ μ OB→且 λ ＋ μ ＝ 1. (2) 對(duì)于共面向量定理和空間向量基本定理可對(duì)比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定 理和共面向量定理是證明三點(diǎn)共線、線線平行、四點(diǎn)共面、線面平行的工具，三個(gè)定理保證了由向量作為橋梁由實(shí)數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問(wèn)題的完美 “ 嫁接 ” ． 四種運(yùn)算 空間向量的四種運(yùn)算與平面向量的四種運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全一致可類比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對(duì)于四種運(yùn)算的運(yùn)算律，要類比實(shí)數(shù)加、減、乘的運(yùn)算律進(jìn)行學(xué)習(xí)． 。b － 2 b2 ＝ 2 k2＋ k － 10 ＝ 0 ，得 k ＝ 2 或 k ＝－52. ( 4) ∵ a ＋ b ＝ ( 0,1,2) ， a － b ＝ ( 2,1 ，－ 2) ， ∴ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) ＝ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) ， ∵ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直， ∴ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) b ＝ x1x2＋ y1y2＋ z1z2， |a |＝ x21＋ y21＋ z21等來(lái)求解該題，這是需要熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)檫@是利用向量解決立體幾何的基礎(chǔ)． [ 規(guī)范解答 ] (1) ∵ c ∥ BC→， BC→＝ ( － 3,0,4) － ( － 1,1,2) ＝ ( －2 ，－ 1,2) ， ∴ c ＝ m BC→＝ m ( － 2 ，－ 1,2) ＝ ( － 2 m ，－ m, 2 m ) ， ∴ |c |＝ ? － 2 m ?2＋ ? － m ?2＋ ? 2 m ?2＝ 3| m |＝ 3 ， ∴ m ＝ 177。 濟(jì)寧一模 ) 若 { a ， b ， c } 為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是
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