北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)33定積分與微積分基本定理(參考版)
2024-11-22 18:07本頁面
【正文】 ( － x )2＋ ( b ＋ 2) ( － x ) ＋ b ＝－ [ ax3＋ (3 a ＋1) x2＋ ( b ＋ 2) x ＋ b ] ， 從而 3 a ＋ 1 ＝ 0 ， b ＝ 0 ，解得 a ＝－13， b ＝ 0. 因此 f ( x ) ＝－13x3＋ x2. ( 2) 由 ( 1) 知 g ( x ) ＝－13x3＋ 2 x ， 所以 g ′ ( x ) ＝－ x2＋ 2. 令 g ′ ( 0) ＝ 0 ，解得 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， 則當(dāng) x － 2 或 x 2 時， g ′ ( x ) 0 ， 從而 g ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－ 2 ] ， [ 2 ，＋ ∞ ) 上是減少的； 當(dāng)－ 2 x 2 時， g ′ ( x ) 0 ，從而 g ( x ) 在 [ － 2 ， 2 ] 上是增加的． 由前面討論知， g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值與最小值只能在 x ＝ 1 ， 2 ， 2 時取得， 而 g ( 1) ＝53， g ( 2 ) ＝4 23， g ( 2) ＝43. 因此 g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值為 g ( 2 ) ＝4 23，最小值為 g ( 2) ＝43. 利用導(dǎo)數(shù)解恒成立問題 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x － ln( x ＋ a ) 的最小值為 0 ，其中a 0. (1) 求 a 的值； (2) 若對任意的 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，有 f ( x ) ≤ kx2恒成立，求實數(shù)k 的最小值． [ 思路分析 ] (1) 先求導(dǎo)，得到函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，得到最小值后解出 a 的值； (2) 將 f ( x ) ≤ kx2轉(zhuǎn)化為 f ( x ) － kx2≤ 0 ，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，從而求出 k 的最小值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) f ( x ) 的定義域為 ( － a ，＋ ∞ ) ． f ′ ( x ) ＝ 1 －1x ＋ a＝x ＋ a － 1x ＋ a. 由 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1 － a － a . 當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － a, 1 － a ) 1 － a (1 － a ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ↘ 極小值 因此， f ( x ) 在 x ＝ 1 － a 處取得最小值， 故由題意 f (1 － a ) ＝ 1 － a ＝ 0 ，所以 a ＝ 1. (2) 當(dāng) k ≤ 0 時，取 x ＝ 1 ，有 f (1) ＝ 1 － ln20 ， 故 k ≤ 0 不合題意． 當(dāng) k 0 時，令 g ( x ) ＝ f ( x ) － kx2， 即 g ( x ) ＝ x － ln( x ＋ 1) － kx2. g ′ ( x ) ＝xx ＋ 1－ 2 kx ＝－ x [2 kx － ? 1 － 2 k ? ]x ＋ 1. 令 g ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝ 0 ， x2＝1 － 2 k2 k － 1. ① 當(dāng) k ≥12時，1 － 2 k2 k≤ 0 ， g ′ ( x ) 0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒成立，因此 g ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞減． 從而對于任意的 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，總有 g ( x ) ≤ g ( 0) ＝ 0 ， 即 f ( x ) ≤ kx2在 [0 ，＋ ∞ ) 上恒成立． 故 k ≥12符合題意． ② 當(dāng) 0 k 12時，1 － 2 k2 k0 ，對于 x ∈ (0 ，1 － 2 k2 k) ， g ′ ( x ) 在 (0 ，1 － 2 k2 k) 內(nèi)單調(diào)遞增． 因此當(dāng)取 x0∈ (0 ，1 － 2 k2 k) 時， g ( x0) g (0) ＝ 0 ， 即 f ( x0) ≤ kx20不成立．故 0 k 12不合題意． 綜上， k 的最小值為12. [ 方法總結(jié) ] ( 1) 導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)等問題的有效方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間關(guān)鍵是求解不等式的解集；最值問題關(guān)鍵在于比較極值與端點函數(shù)值的大小；參數(shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等，求解時注意分類討論思想的應(yīng)用． ( 2) 對于一些復(fù)雜問題，要善于將問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成 能用熟知的導(dǎo)數(shù)研究問題． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ln x －ax， ( 1) 若 a 0 ，試判斷 f ( x ) 在定義域內(nèi)的單調(diào)性； ( 2) 若 f ( x ) x2在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，求 a 的取值范圍． [ 解析 ] ( 1) 由題意 f ( x ) 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ，且 f ′ ( x ) ＝1x＋ax2 ＝x ＋ ax2 . ∵ a 0 ， ∴ f ′ ( x ) 0 ， 故 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是單調(diào)遞增函數(shù)． ( 2) ∵ f ( x ) x2， ∴ ln x －ax x2. 又 x 0 ， ∴ a x ln x － x3. 令 g ( x ) ＝ x ln x － x3， h ( x ) ＝ g ′ ( x ) ＝ 1 ＋ ln x － 3 x2， h ′ ( x ) ＝1x－ 6 x ＝1 － 6 x2x. ∵ x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 時， h ′ (
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