北師大版高考數(shù)學一輪總復習87空間向量及其運算(已改無錯字)
2022-12-31 18:06:38 本頁面
【正文】 B→＋ y AC→， 即 3 e1－ 3 e2＝ x ( e1＋ e2) ＋ y (2 e1＋ 8 e2) ＝ ( x ＋ 2 y ) e1＋ ( x ＋ 8 y ) e2. ∴????? x ＋ 2 y ＝ 3x ＋ 8 y ＝－ 3， 解得????? x ＝ 5y ＝－ 1. ∴ 存在實數(shù) x ＝ 5 ， y ＝－ 1 使得 AD→＝ 5 AB→－ AC→， ∴ AB→， AC→， AD→共面 . 空間向量的模、夾角及數(shù)量積 已知空間中三點 A ( － 2,0,2) ， B ( － 1,1,2) ， C ( －3,0,4) ， 設(shè) a ＝ AB→， b ＝ AC→. (1) 若 | c |＝ 3 ， 且 c ∥ BC→， 求向量 c ； (2) 求向量 a 與向量 b 的夾角的余弦值； (3) 若 k a ＋ b 與 k a － 2 b 互相垂直，求實數(shù) k 的值； (4) 若 λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直，求 λ ， μ 應滿足的關(guān)系． [ 思路分析 ] 本題考查空間向量坐標運算法則的應用，根據(jù) a ＝ ( x1， y1， z1) ， b ＝ ( x2， y2， z2) ，則 a 177。 b ＝ ( x1177。 x2， y1177。 y2，z1177。 z2) ， a b ＝ x1x2＋ y1y2＋ z1z2， |a |＝ x21＋ y21＋ z21等來求解該題，這是需要熟練掌握的知識點，因為這是利用向量解決立體幾何的基礎(chǔ)． [ 規(guī)范解答 ] (1) ∵ c ∥ BC→， BC→＝ ( － 3,0,4) － ( － 1,1,2) ＝ ( －2 ，－ 1,2) ， ∴ c ＝ m BC→＝ m ( － 2 ，－ 1,2) ＝ ( － 2 m ，－ m, 2 m ) ， ∴ |c |＝ ? － 2 m ?2＋ ? － m ?2＋ ? 2 m ?2＝ 3| m |＝ 3 ， ∴ m ＝ 177。1 ， ∴ c ＝ ( － 2 ，－ 1,2) 或 (2,1 ，－ 2) ． (2) ∵ a ＝ (1,1,0 ) ， b ＝ ( － 1,0,2) ， ∴ a b ＝ (1,1,0 ) ( － 1,0,2) ＝－ 1 ， 又 |a |＝ 12＋ 12＋ 02＝ 2 ， | b |＝ ? － 1 ?2＋ 02＋ 22＝ 5 ， ∴ c os a ， b ＝a b| a || b |＝－ 110＝－1010. 即向量 a 與向量 b 的夾角的余弦值為－1010. ( 3) 解法 1 ： ∵ k a ＋ b ＝ ( k － 1 ， k, 2) ， k a － 2 b ＝ ( k ＋ 2 ， k ，－ 4) ， 且 k a ＋ b 與 k a － 2 b 互相垂直， ∴ ( k － 1 ， k, 2) ( k ＋ 2 ， k ，－ 4) ＝ ( k － 1) ( k ＋ 2) ＋ k2－ 8 ＝ 0 ， ∴ k ＝ 2 或 k ＝－52， ∴ 當 k a ＋ b 與 k a － 2 b 互相垂直時，實數(shù) k 的值為 2 或－52. 解法 2 ：由 ( 2) 知 | a |＝ 2 ， | b |＝ 5 ， a b ＝－ 1 ， ∴ ( k a ＋ b ) ( k a － 2 b ) ＝ k2a2－ k a b － 2 b2 ＝ 2 k2＋ k － 10 ＝ 0 ，得 k ＝ 2 或 k ＝－52. ( 4) ∵ a ＋ b ＝ ( 0,1,2) ， a － b ＝ ( 2,1 ，－ 2) ， ∴ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) ＝ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) ， ∵ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直， ∴ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) ( 0,0,1) ＝ 2 λ － 2 μ ＝ 0 ， 即當 λ ， μ 滿足關(guān)系 λ － μ ＝ 0 時，可使 λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b )與 z 軸垂直． [ 方法總結(jié) ] 空間向量的坐標運算，關(guān)鍵是要注意向量坐標與點的坐標間的關(guān)系，并熟練掌握運算公式． 已知空間三 點 A ( 0,2,3) ， B ( － 2,1,6) ， C (1 ，－ 1,5) ． ( 1) 求以 AB→， AC→為鄰邊的平行四邊形的面積； ( 2) 若 | a |＝ 3 ，且 a 分別與 AB→、 AC→垂直，求向量 a 的坐標． [ 分析 ] 平行四邊形面積公式→兩向量垂直的充要條件→待定系數(shù)法求 a [ 解析 ] (1) 由題意可得： AB→＝ ( －
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