北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87空間向量及其運(yùn)算-展示頁(yè)
2024-11-30 18:06本頁(yè)面
【正文】 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直 . 命題分析 由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的特點(diǎn)，所以使空間向量成為處理空間問(wèn)題的重要工具，它可以將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將空間中的邏輯證明轉(zhuǎn)化成數(shù)值計(jì)算，從而降低了題目的難度．通過(guò)近幾年的高考試題可以看出，對(duì)于空間向量及其運(yùn)算很少單獨(dú)考查，主要是通過(guò)空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用去解決立體幾何中有關(guān)的平行與垂直的證明，角與距離的探求等問(wèn)題． 預(yù)測(cè) 201 5 年高考仍延續(xù) 2020 年形式，作為基 本工具解決空間角和距離問(wèn)題，以解答題形式出現(xiàn) . 課前自主導(dǎo)學(xué) 知 識(shí) 梳 理 1. 空間向量的概念及運(yùn)算 空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同．加減運(yùn)算遵循 ________________ ，數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算 ______ ；坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，僅多出了一個(gè)豎坐標(biāo)． 2 ． 共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 ( 1) 共線向量定理：對(duì)空間任意兩 個(gè)向量 a ， b ( b ≠ 0) ， a ∥b 的充要條件是存在實(shí)數(shù) λ ，使得 ________ ． ( 2) 共面向量定理：如果兩個(gè)向量 a ， b 不共線，那么向量p 與向量 a ， b 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì) ( x ，y ) ，使 ______________ ． ( 3) 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量 a ， b ， c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p ，存在有序?qū)崝?shù)組 { x ， y ， z } ，使得 __ _ ．其中， { a ， b ， c } 叫做空間的一個(gè) ________ ． 推論：設(shè) O ， A ， B ， C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P ，都存在唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)組 { x ， y ， z } ，使 OP→＝ ___ ___. 3 ． 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 ( 1) 數(shù)量積及相關(guān)概念 ① 兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量 a ， b ，在空間任取一點(diǎn) O ，作 OA→＝ a ，OB→＝ b ，則 ______ 叫作向量 a 與 b 的夾角，記作 ________ ，其范圍是 ______ ，若〈 a ， b 〉＝π2，則稱 a 與 b ________ ，記作 a ⊥ b . ② 兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量 a ， b ，則 _________ _____ 叫作向量 a ， b 的數(shù)量積，記作 ________ ，即 ________________ ． ( 2) 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ① 結(jié)合律： ( λ a ) b ＝ ________ ； ② 交換律： a ( b ＋ c ) ＝ ________. 4 ． 空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 ( 1) 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 若 a ＝ ( a1， a2， a3) ， b ＝ ( b1， b2， b3) ， 則 a a ＝ ______ ， c os 〈 a ， b 〉＝a b a b 〉 ( 2) λ ( a a a c 4 ． ( 1) a1b1＋ a2b2＋ a3b3 ( 2) a ＝ λ b a1＝ λ b1 a2＝ λ b2 a3＝ λ b3 a b21＋ b22＋ b23 ? a2－ a1?2＋ ? b2－ b1?2＋ ? c2－ c1?2 基 礎(chǔ) 自 測(cè) 1. 已知向量 a ∥ 平面 β ，向量 a 所在直線為 a ，則 ( ) A ． a ∥ β B ． a β C ． a 交 β 于一點(diǎn) D ． a ∥ β 或 a β [ 答案 ] D [ 解析 ] a ∥ β ，則 a 所在直線 a 可能與 β 平行，也可能在β 內(nèi)． 2 ． ( 2020 1 D ． 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] c os a ， b ＝a 6＝16， 解得 λ ＝ 1. 5 ．在四面體 O － ABC 中， OA→＝ a ， O B→＝ b ， OC→＝ c ， D為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AD 的中點(diǎn)，則 OE→＝ ____________.( 用 a ，b ， c 表示 ) [ 答案 ] 12 a ＋ 14 b ＋ 14 c [ 解析 ] OE→＝ OA→＋12AD→＝ OA→＋1212( AB→＋ AC→) ＝ OA→＋14 ( OB→－ OA→＋ OC→－ OA→) ＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a ＋14b ＋14c . 6 ．已知 A ( 2,3 ，－ 1) ， B ( － 2,1,3) ，則與向量 AB→共線的單位向量是 ____________ ． [
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