北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)65數(shù)列的綜合應(yīng)用-展示頁
2024-12-01 06:52本頁面
【正文】 ∴ n ≥ 7. 故 選 B. 5 ． ( 2020 bn，且 { cn} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求 Sn. 等差、等比數(shù)列的綜合問題 [ 思路分析 ] ( 1) 根據(jù)等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和已知條件求 an與 bn. ( 2) 應(yīng)用錯(cuò)位相減法求 Sn. [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 由題意知，對數(shù)列 { an} ， ????? a2＋ a4＝ 34 ，A4＝ 60?????? a2＋ a4＝ 34 ， ①a1＋ a3＝ 26 ， ② ∴① － ② 可得： 2 d ＝ 8. ∴ d ＝ 4 ， a1＝ 9. ∴ an＝ 4 n ＋ 5( n ∈ N ＋ ) ． 由題意知，對數(shù)列 { bn} ，????? B4＝ 120 ，b2＋ b4＝ 90 ， ∴????? b1＋ b3＝ 30 ， ③b2＋ b4＝ 90. ④ ④ 247。 bn＝ (4 n ＋ 5 ) 3 ＋ 13 33＋ ? ＋ (4 n ＋ 5) 32＋ 13 34＋ ? ＋ (4 n ＋ 1) 3n ＋ 1. 兩式相減，得 － 2 Sn＝ 9 32＋ 4 3n－ (4 n ＋ 5) 32? 1 － 3n － 1?1 － 3－ (4 n ＋ 5) 3n ＋ 1－ 18 － (4 n ＋ 5) 3n ＋ 1－ 9] ． [ 方法總結(jié) ] 1. 等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前 n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn)． 2 ． 利用等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式時(shí)注意公比 q 的取值．對等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解． 數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和記為 Sn， a1＝ 1 ， an ＋ 1＝ 2 Sn＋ 1( n ≥ 1) ． ( 1) 求 { an} 的通項(xiàng)公式； ( 2) 等差數(shù)列 { bn} 的各項(xiàng)為正，其前 n 項(xiàng)和為 Tn，且 T3＝15 ，又 a1＋ b1， a2＋ b2， a3＋ b3成等比數(shù)列，求 Tn. [ 解析 ] ( 1) 由 an ＋ 1＝ 2 Sn＋ 1 ，可得 an＝ 2 Sn － 1＋ 1( n ≥ 2) ， 兩式相減得 an ＋ 1－ an＝ 2 an，則 an ＋ 1＝ 3 an( n ≥ 2) ． 又 a2＝ 2 S1＋ 1 ＝ 3 ， ∴ a2＝ 3 a1. 故 { an} 是首項(xiàng)為 1 ，公比為 3 等比數(shù)列， ∴ an＝ 3n － 1. ( 2) 設(shè) { bn} 的公差為 d ， 由 T3＝ 15 ， b1＋ b2＋ b3＝ 15 ，可得 b2＝ 5 ， 故可設(shè) b1＝ 5 － d ， b3＝ 5 ＋ d ，又 a1＝ 1 ， a2＝ 3 ， a3＝ 9 ， 由題意可得 (5 － d ＋ 1) ( 5 ＋ d ＋ 9) ＝ (5 ＋ 3)2， 解得 d1＝ 2 ， d2＝－ 10. ∵ 等差數(shù)列 { bn} 的各項(xiàng)為正， ∴ d 0 ， ∴ d ＝ 2 ， b1＝ 3 ， ∴ Tn＝ 3 n ＋n ? n － 1 ?2 2 ＝ n2＋ 2 n . 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用 已知 f ( x ) ＝ logax ( a 0 且 a ≠ 1) ，設(shè) f ( a1) ， f ( a2) ， ? ，f ( an)( n ∈ N ＋ ) 是首項(xiàng)為 4 ，公差為 2 的等差數(shù)列． (1) 設(shè) a 為常數(shù)，求證： { an} 成等比數(shù)列； (2) 若 bn＝ anf ( an) ， { bn} 的前 n 項(xiàng)和是 Sn，當(dāng) a ＝ 2 時(shí)，求Sn. [ 思路分析 ] 利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出 an的表達(dá) 式，再利用表達(dá)式解決其他問題． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) f ( an) ＝ 4 ＋ ( n － 1) 2 ＝ 2 n ＋ 2 ， 即 logaan＝ 2 n ＋ 2 ， 可得 an＝ a2 n ＋ 2. ∴anan － 1＝a2 n ＋ 2a2 ? n － 1 ? ＋ 2 ＝ a2( n ≥ 2) ，為定值． ∴ { an} 為等比數(shù)列． ( 2) bn＝ anf ( an) ＝ a2 n ＋ 2logaa2 n ＋ 2＝ (2
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