北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87空間向量及其運算(參考版)
2024-11-22 18:06本頁面
【正文】 AC→ ＝ 14 32＝ 7 3 . ( 2) 設(shè) a ＝ ( x ， y ， z ) ， 由題意得????? x2＋ y2＋ z2＝ 3 ，－ 2 x － y ＋ 3 z ＝ 0 ，x － 3 y ＋ 2 z ＝ 0. 解得????? x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，z ＝ 1或????? x ＝－ 1 ，y ＝－ 1 ，z ＝－ 1. ∴ a ＝ ( 1,1,1) ，或 a ＝ ( － 1 ，－ 1 ，－ 1) . 易 錯 警 示 空間向量的運算錯誤 如圖所示，在各個面都是平行四邊形的四棱柱AB CD － A1B1C1D1中， P 是 CA1的中點， M 是 CD1的中點， N是 C1D1的中點，點 Q 在 CA1上，且 CQ : QA1＝ 4 : 1 ，設(shè) AB→＝ a ，AD→＝ b ， AA1→＝ c ，用基底 { a ， b ， c } 表示以下向量： ( 1) AP→； ( 2) AM→； ( 3) AN→； ( 4) AQ→. [ 錯因分析 ] 解本題易出錯的地方就是對空間向量加減的運算，特別是減法運算理解不清，如把 CA1→誤認為是 AC→－AA1→；另一個錯誤是向量的數(shù)乘表示不準，如把 CQ→＝45CA1→，誤認為 CQ→＝34CA1→. [ 正確解答 ] 連接 AC ， AD1. ( 1) AP→＝12( AC→＋ AA1→) ＝12( AB→＋ AD→＋ AA1→) ＝12( a ＋ b ＋ c ) ． ( 2) AM→＝12( AC→＋ AD1→) ＝12( AB→＋ 2 AD→＋ AA1→) ＝12( a ＋ 2 b ＋ c ) ． ( 3) AN→＝12( AC1→＋ AD1→) ＝12[( AB→＋ AD→＋ AA1→) ＋ ( AD→＋ AA1→)] ＝12( AB→＋ 2 AD→＋ 2 AA1→) ＝12( a ＋ 2 b ＋ 2 c ) ＝12a ＋ b ＋ c . ( 4) AQ→＝ AC→＋ CQ→＝ AC→＋45( AA1→－ AC→) ＝15AC→＋45AA1→＝15AB→＋15AD→＋45AA1→＝15a ＋15b ＋45c . [ 誤區(qū)警示 ] 空間向量的概念及運算是由平面向量延伸而來的，要用類比的思想去掌握．在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運算中，往往是選擇適當(dāng)?shù)南蛄孔鳛榛?，用基向量表示出相關(guān)向量后進行向量運算，同時再以圖形為指導(dǎo)對有關(guān)向量進行分解 . 名 師 點 睛 一種方法 用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是： (1) 適當(dāng)?shù)倪x取基底 { a ， b ， c } ； (2) 用 a ， b ， c 表示相關(guān)向量； (3) 通過運算完成證明或計算問題． 兩個理解 (1) 共線向量定理還可以有以 下幾種形式： ① a ＝ λ b ? a ∥ b ； ② 空間任意兩個向量，共線的充要條件是存在 λ ， μ ∈ R使 λ a ＝ μ b . ③ 若 OA→， OB→不共線，則 P ， A ， B 三點共線的充要條件是 OP→＝ λ OA→＋ μ OB→且 λ ＋ μ ＝ 1. (2) 對于共面向量定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定 理和共面向量定理是證明三點共線、線線平行、四點共面、線面平行的工具，三個定理保證了由向量作為橋梁由實數(shù)運算方法完成幾何證明問題的完美 “ 嫁接 ” ． 四種運算 空間向量的四種運算與平面向量的四種運算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全一致可類比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對于四種運算的運算律，要類比實數(shù)加、減、乘的運算律進行學(xué)習(xí)． 。 | AC→| AC→| AB→| b － 2 b2 ＝ 2 k2＋ k － 10 ＝ 0 ，得 k ＝ 2 或 k ＝－52. ( 4) ∵ a ＋ b ＝ ( 0,1,2) ， a － b ＝ ( 2,1 ，－ 2) ， ∴ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) ＝ (2 μ ， λ ＋ μ ， 2 λ － 2 μ ) ， ∵ λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直， ∴ (2 μ ， λ ＋ μ ，
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