北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)32導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(參考版)
2024-11-23 04:09本頁面
【正文】 蘭州一中月考 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ ( a ＋ 6) x ＋1 有極大值和極小值，則實數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A ． ( － 1,2) B ． ( － ∞ ，－ 3) ∪ (6 ，＋ ∞ ) C ． ( － 3,6) D ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) [ 答案 ] B [ 解析 ] 因為 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ a ＋ 6 ，要使 f ( x ) 有極大值也有極小值，則 f ′ ( x ) 的判別式大于零， 即 (2 a )2－ 4 3( a ＋ 6) 0 ， 解得 a － 3 或 a 6 ，故選 B. 易 錯 警 示 導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清致誤 函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2在 x ＝ 1 處有極值10 ，則 ( ) A ． a ＝－ 3 ， b ＝ 3 B ． a ＝ 4 ， b ＝－ 11 C ． a ＝－ 4 ， b ＝ 11 D ． a ＝ 4 ， b ＝－ 11 或 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 [ 錯解 ] D [ 錯因分析 ] 求出導(dǎo)函數(shù) f ′ ( x ) ＝ 0 的零點，然后判斷導(dǎo)函數(shù)在這些點兩側(cè)的符號，若符號相反，則是極值點，若符號相同，則不是極值點． [ 正確解答 ] 由 f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2， 得 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b ， 根據(jù)已知條件????? f ′ ? 1 ? ＝ 0 ，f ? 1 ? ＝ 10 ，即????? 2 a ＋ b ＋ 3 ＝ 0 ，a2＋ a ＋ b ＋ 1 ＝ 10. 解得????? a ＝ 4 ，b ＝－ 11 ，或????? a ＝－ 3 ，b ＝ 3. 當(dāng) a ＝－ 3 ， b ＝ 3 時， f ( x ) ＝ x3－ 3 x2＋ 3 x ＋ 9 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x － 1)2≥ 0 f ( x ) 為 R 上的增函數(shù)不存在極值，故 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 時不適合題意，舍去；當(dāng) a ＝ 4 ， b ＝－ 11 時經(jīng)檢驗適合題意，故選 B. [ 誤區(qū)警示 ] 可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為 0 的點，但導(dǎo)數(shù)為 0 的點不一定是極值點，即 f ′ ( x0) ＝ 0 是可導(dǎo)函數(shù) f ( x )在 x ＝ x0處取得極值的必要不充分條件．也就是說 x0是極值點的充要條件是在 x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是 f ′ ( x0) ＝ 0. 另外還要注意以下幾點： ( 1) 函數(shù)極值是一個局部性概念，函數(shù)的極值可以有多個，并且極大值與極小值的大小關(guān)系不確定．要強化用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值、最值、方程的根及不等式的證明等數(shù)學(xué)問題的意識． ( 2) 當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有 f ′ ( x ) ＝ 0 ，則 f ( x ) 為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性．所以 f ′ ( x ) ≥ 0 是 f ( x ) 為增函數(shù)的必要不充分條件．在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯誤還很多，在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴密性 . 名 師 點 睛 一點 注意 如果一個函數(shù)在給定定義域上的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間一般不能用并集符合 “ ∪ ” 連接，只能用 “ ， ” 或“ 和 ” 字隔開． 兩個條件 ( 1) f ′ ( x ) 0 在 ( a ， b ) 上成立是 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上單調(diào)遞增的充分條件． ( 2) 對于可導(dǎo)函數(shù) f ( x ) ， f ′ ( x0) ＝ 0 是函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ x0處有極值的必要不充分條件． 三個步驟 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： ( 1) 確定函數(shù) f ( x ) 的定義域； ( 2) 求導(dǎo)數(shù) f ′ ( x ) ； ( 3) 由 f ′ ( x ) 0( f ′ ( x ) 0 ) 解出相應(yīng)的 x 的范圍． 當(dāng) f ′ ( x ) 0 時， f ( x ) 在 相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng) f ′ ( x ) 0時， f ( x ) 在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 。江西卷改編 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ( ax2＋ bx ＋ c )
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