北師大版高考數(shù)學一輪總復習87空間向量及其運算-資料下載頁
2025-11-09 18:06本頁面
【導讀】第八章立體幾何初步。3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)。量積判斷向量的共線與垂直.由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的特點，所以使空間向量成為。數(shù)量關(guān)系，將空間中的邏輯證明轉(zhuǎn)化成數(shù)值計算，從而降低了題。目的難度．通過近幾年的高考試題可以看出，對于空間向量及其。運算很少單獨考查，主要是通過空間向量的運算及應用去解決立。預測2015年高考仍延續(xù)2020年形式，作為基本工具解決空間角。和距離問題，以解答題形式出現(xiàn).遵循________________，數(shù)乘運算和數(shù)量積運算與平面向量。標運算類似，僅多出了一個豎坐標．。2．共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理。b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得________．。點P，都存在唯一的一個有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使OP. 數(shù)量積及相關(guān)概念。其范圍是______，若〈a，b〉＝。，則稱a與b________，記。已知空間兩個非零向量a，b，則______________叫作向。①結(jié)合律：(λa)·b＝________；③分配律：a·(b＋c)＝________.
【正文】 2 ，－ 1,3) ， AC→＝ (1 ，－ 3,2) ， ∴ c os AB→， AC→ ＝AB→ AC→| AB→| | AC→|＝－ 2 ＋ 3 ＋ 614 14 ＝714＝12， ∴ sin AB→， AC→ ＝32， 所以以 AB→， AC→為鄰邊的平行四邊形的面積 S ＝ 2 12| AB→| | AC→| sin AB→ AC→ ＝ 14 32＝ 7 3 . ( 2) 設(shè) a ＝ ( x ， y ， z ) ， 由題意得????? x2＋ y2＋ z2＝ 3 ，－ 2 x － y ＋ 3 z ＝ 0 ，x － 3 y ＋ 2 z ＝ 0. 解得????? x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，z ＝ 1或????? x ＝－ 1 ，y ＝－ 1 ，z ＝－ 1. ∴ a ＝ ( 1,1,1) ，或 a ＝ ( － 1 ，－ 1 ，－ 1) . 易 錯 警 示 空間向量的運算錯誤 如圖所示，在各個面都是平行四邊形的四棱柱AB CD － A1B1C1D1中， P 是 CA1的中點， M 是 CD1的中點， N是 C1D1的中點，點 Q 在 CA1上，且 CQ : QA1＝ 4 : 1 ，設(shè) AB→＝ a ，AD→＝ b ， AA1→＝ c ，用基底 { a ， b ， c } 表示以下向量： ( 1) AP→； ( 2) AM→； ( 3) AN→； ( 4) AQ→. [ 錯因分析 ] 解本題易出錯的地方就是對空間向量加減的運算，特別是減法運算理解不清，如把 CA1→誤認為是 AC→－AA1→；另一個錯誤是向量的數(shù)乘表示不準，如把 CQ→＝45CA1→，誤認為 CQ→＝34CA1→. [ 正確解答 ] 連接 AC ， AD1. ( 1) AP→＝12( AC→＋ AA1→) ＝12( AB→＋ AD→＋ AA1→) ＝12( a ＋ b ＋ c ) ． ( 2) AM→＝12( AC→＋ AD1→) ＝12( AB→＋ 2 AD→＋ AA1→) ＝12( a ＋ 2 b ＋ c ) ． ( 3) AN→＝12( AC1→＋ AD1→) ＝12[( AB→＋ AD→＋ AA1→) ＋ ( AD→＋ AA1→)] ＝12( AB→＋ 2 AD→＋ 2 AA1→) ＝12( a ＋ 2 b ＋ 2 c ) ＝12a ＋ b ＋ c . ( 4) AQ→＝ AC→＋ CQ→＝ AC→＋45( AA1→－ AC→) ＝15AC→＋45AA1→＝15AB→＋15AD→＋45AA1→＝15a ＋15b ＋45c . [ 誤區(qū)警示 ] 空間向量的概念及運算是由平面向量延伸而來的，要用類比的思想去掌握．在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運算中，往往是選擇適當?shù)南蛄孔鳛榛?，用基向量表示出相關(guān)向量后進行向量運算，同時再以圖形為指導對有關(guān)向量進行分解 . 名 師 點 睛 一種方法 用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是： (1) 適當?shù)倪x取基底 { a ， b ， c } ； (2) 用 a ， b ， c 表示相關(guān)向量； (3) 通過運算完成證明或計算問題． 兩個理解 (1) 共線向量定理還可以有以 下幾種形式： ① a ＝ λ b ? a ∥ b ； ② 空間任意兩個向量，共線的充要條件是存在 λ ， μ ∈ R使 λ a ＝ μ b . ③ 若 OA→， OB→不共線，則 P ， A ， B 三點共線的充要條件是 OP→＝ λ OA→＋ μ OB→且 λ ＋ μ ＝ 1. (2) 對于共面向量定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進行學習理解．空間向量基本定理是適當選取基底的依據(jù)，共線向量定 理和共面向量定理是證明三點共線、線線平行、四點共面、線面平行的工具，三個定理保證了由向量作為橋梁由實數(shù)運算方法完成幾何證明問題的完美 “ 嫁接 ” ． 四種運算 空間向量的四種運算與平面向量的四種運算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全一致可類比學習．學生要特別注意共面向量的概念．而對于四種運算的運算律，要類比實數(shù)加、減、乘的運算律進行學習．
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