【導(dǎo)讀】第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)。調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性比較。數(shù)的大小，以及解不等式等問題．客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，最值。的靈活確定與簡單應(yīng)用．主觀題在考查基本概念，重要方法的基礎(chǔ)上常。與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方。2015年高考對本節(jié)內(nèi)容的考查仍將以函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用為主，題型延續(xù)。選擇題、填空題的形式，分值約為5分．函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性常與函。數(shù)的其他性質(zhì)如周期性、對稱性相結(jié)合求函數(shù)值或參數(shù)的范圍，在備考。時應(yīng)加強這方面的訓練.一般地，設(shè)函數(shù)f的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)。某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x. ①f＋g為增函數(shù)；法則是“________”，即兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這。調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有______的單。函數(shù)；當f′<0時，f為______函數(shù)；②若f在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當f在該區(qū)間上遞增時，

　　

【正文】 1. 在 R 上任取 x1 x2， 則 x1－ x20 ， f ( x1－ x2) － 1 ，又 f ( x1) ＝ f [( x1－ x2) ＋ x2] ＝ f ( x1－ x2) ＋ f ( x2) ＋ 1 f ( x2) ， 所以，函數(shù) f ( x ) 在 R 上是單調(diào)增加的． ( 2) 由 f ( 1) ＝ 1 ，得 f ( 2) ＝ 3 ， f ( 3) ＝ 5. 由 f ( x2＋ 2 x ) ＋ f (1 － x ) 4 得 f ( x2＋ x ＋ 1) f ( 3) ， 又函 數(shù) f ( x ) 在 R 上是增加的，故 x2＋ x ＋ 1 3 ， 解之，得 x － 2 或 x 1 ，故解集為 { x | x － 2 或 x 1} ． [ 方法總結(jié) ] 解有關(guān)抽象函數(shù)不等式問題的步驟： ( 1) 確定函數(shù) f ( x ) 在給定區(qū)間上的單調(diào)性 ( 或奇偶性 ) ； ( 2) 將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為 f ( A ) f ( B ) 的形式； ( 3) 運用 函數(shù)的單調(diào)性 “ 去掉 ” 函數(shù)的抽象符號 “ f ” ，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組； ( 4) 解不等式或不等式組求得解集． 提醒： 解此類問題易忽視 A ， B 的取值范圍，即忽視 f ( x )所在的單調(diào)區(qū)間的約束． 已知奇函數(shù) f ( x ) 對于任意的正實數(shù) x1， x2( x1≠ x2) ，恒有 ( x1－ x2)( f ( x1) － f ( x2) ) 0 ，則一定正確的是 ( ) A ． f ( 4) f ( 6) B ． f ( － 4) f ( － 6) C ． f ( － 4) f ( － 6) D ． f ( 4) f ( － 6) [ 答案 ] C [ 解析 ] 因為 f ( x ) 對于任意的正實數(shù) x1， x2( x1≠ x2) ，恒有( x1－ x2)( f ( x1) － f ( x2) ) 0 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)，又因為 f ( x ) 為奇函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)知 f ( x ) 在 R 上為增函數(shù)．所以有 f ( － 6) f ( － 4) f ( 4) f ( 6) ．故選 C. 函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x －ax的定義域為 (0,1] ( a 為實數(shù) ) ． (1) 當 a ＝－ 1 時，求函數(shù) y ＝ f ( x ) 的值域； (2) 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 在定義域上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍； (3) 求函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ∈ (0,1] 上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時 x 的值． 單調(diào)性與最值 [ 規(guī)范解答 ] (1) 因為 f ( x ) ＝ 2 x ＋1x≥ 2 2 x 1x＝ 2 2 . 當且僅當 2 x ＝1x，即 x ＝22時取等號． 所以函數(shù) y ＝ f ( x ) 的值域為 [2 2 ，＋ ∞ ) ． (2) 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 在定義域上是減函數(shù)， 則任取 x1， x2∈ (0,1] 且 x1 x2都有 f ( x1) f ( x2) 成立，即 ( x1－x2)??????2 ＋ax1x20 ，只要 a － 2 x1x2即可， 由 x1， x2∈ (0,1] ，故－ 2 x1x2∈ ( － 2,0) ，所以 a ≤ － 2 ， 故 a 的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 2] ． 或用導(dǎo)數(shù)來判斷． (3) 當 a ≥ 0 時，函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 (0,1] 上單調(diào)遞增，無最小值，當 x ＝ 1 時取得最大值 2 － a ； 由 (2) 得當 a ≤ － 2 時，函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 (0,1] 上單調(diào)遞減，無最大值， 當 x ＝ 1 時取得最小值 2 － a ； 當－ 2 a 0 時，函數(shù) y ＝ f ( x ) 在????????0 ，－ 2 a2上單調(diào)遞減，在????????－ 2 a2， 1 上單調(diào)遞增，無最大值，當 x ＝－ 2 a2時取得最小值 2 － 2 a . 函數(shù) y ＝ x ＋ 1 － x － 1 的最大值為 ( ) A ． 2 2 B. 2 C ． 1 D ． 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] y ＝2x ＋ 1 ＋ x － 1，又 x ≥ 1 ，則 y 是 x 的減函數(shù)，當 x ＝ 1 時， y m ax ＝ 2 . 易 錯 警 示 對單調(diào)性的概念理解不清致誤 已知 f ( x ) ＝????? ? 3 a － 1 ? x ＋ 4 a ， x ≤ 1 ，logax ， x 1是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的減函數(shù)，那么 a 的取值范圍是 ( ) A ． (0,1) B ． (0 ，13) C ． [17，13) D ． [17， 1) [ 錯解 ] 依題意應(yīng)有????? 3 a － 1 0 ，0 a 1 ，解得 0 a 13，選 B. [ 錯因分析 ] 本題的錯誤在于沒有注意分段函數(shù)的特點，只保證了函數(shù)在每一段上是單調(diào)遞減的，沒有使函數(shù) f ( x )在 ( － ∞ ， 1] 上的最小值大于 (1 ，＋ ∞ ) 上的最大值，從而得出錯誤結(jié)果． [ 正確解答 ] 據(jù)題意要使原函數(shù)在定義域 R 上為減函數(shù)，要滿足 3 a － 1 0 ，且 0 a 1 ，及 x ＝ 1 時 (3 a － 1) 1 ＋ 4 a ≥ log a 1 ，解得 a 的取值范圍為 [17，13) ，故選 C. [ 誤區(qū)警示 ] 在研究函數(shù)的單調(diào)性時，應(yīng)注意以下兩方面的問題：一是必須在定義域的范圍內(nèi)研究單調(diào)性，超出了定義域范圍的單調(diào)區(qū)間是沒有意義的，二是單調(diào)區(qū)間的表述要正確 . 名 師 點 睛 一個防范 函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù) y ＝1x分別在 ( － ∞ ， 0) ， (0 ，＋ ∞ ) 內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ( － ∞ ， 0) 和 (0 ，＋ ∞ ) 不能用 “ ∪ ” 連接． 兩種形式 設(shè)任意 x1， x2∈ [ a ， b ] 且 x1 x2，那么 ①f ? x1? － f ? x2?x1－ x20 ? f ( x ) 在 [ a ， b ] 上是增函數(shù)；f ? x1? － f ? x2?x1－ x20? f ( x ) 在 [ a ， b ] 上是減函數(shù)． ② ( x1－ x2)[ f ( x1) － f ( x2) ] 0 ? f ( x ) 在 [ a ， b ] 上是增函數(shù)； ( x1－x2)[ f ( x1) － f ( x2) ] 0 ? f ( x ) 在 [ a ， b ] 上是減函數(shù)． 兩條結(jié)論 ( 1) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到． ( 2) 開區(qū)間上的 “ 單峰 ” 函數(shù)一定存在最大 ( 小 ) 值． 四種方法 函數(shù)單調(diào)性的判斷 ( 1) 定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論． ( 2) 復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)． ( 3) 導(dǎo)數(shù) 法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． ( 4) 圖像法：利用圖像研究函數(shù)的單調(diào)性．