北師大版高考數(shù)學一輪總復(fù)習65數(shù)列的綜合應(yīng)用-資料下載頁
2024-11-19 06:52本頁面
【導讀】2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．。3．能在具體的問題情境中，識別數(shù)列是否為等差或等比數(shù)。列，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.從近幾年的高考試題看，數(shù)列的綜合應(yīng)用成為命題的熱點，在選擇題、填空題、解答題中都有可能出現(xiàn)，以解答題為主，難度偏大，主要是等差、等比數(shù)列綜合題，或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的綜合問題，數(shù)列與不等式、函數(shù)、解析幾何等的。預(yù)測2020年高考等差與等比數(shù)列的交匯，數(shù)列與不等式的。交匯是高考的主要考點，重點考查運算能力和邏輯推理能力.強調(diào)從第二項起每一項與。每一項與前項的關(guān)。結(jié)果都必須是同一。驟，可用圖表示如下：。系不固定，隨項的變化而變化時，應(yīng)考慮是a. 關(guān)系，還是前n項和S
【正文】 列的實際應(yīng)用問題 某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員，第1 名得全部資金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第 10 名恰好資金分完，求此科研單位共拿出多少萬元資金進行獎勵． [ 規(guī)范解答 ] 設(shè)單位共拿出 x 萬元資金，第 1 名到第 10名所得資金構(gòu)成數(shù)列 { an} ，前 n 項和為 Sn，則 a1＝x2＋ 1 ， an＝12( x － Sn － 1) ＋ 1( n ≥ 2) ， ∴ 2 an＝ x － Sn － 1＋ 2,2 an ＋ 1＝ x － Sn＋ 2 ， 兩式相減得 2 an ＋ 1－ 2 an＝－ an， ∴ 2 an ＋ 1＝ an. ∴ { an} 是公比為12的等比數(shù)列，首項為x2＋ 1. 由 S10＝?x2＋ 1 ?? 1 －1210 ?1 －12＝ x ，解得 x ＝ 2 046. 故單位共拿出 2 046 萬元資金進行獎勵． [ 方法總結(jié) ] 解有關(guān)數(shù)列應(yīng)用題要深刻理解問題的實際背影，理清蘊含在語言中的數(shù)學關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學中的等差、等比數(shù)列問題，使關(guān)系明朗化、標準化．然后用等差、等比數(shù)列知識求解．這其中體現(xiàn)了把實際問題數(shù)學化的能力，也就是所謂的數(shù)學建模能力． 某公司按現(xiàn)有能力，每月收入為 70 萬元，公司分析部門測算，若不進行改革，入世后因競爭加劇收入將逐月減少．分析測算得入世第一個月收入將減少 3 萬元，以后逐月多減少 2萬元，如果進行改革，即投入技術(shù)改造費 300 萬元，且入世后每月再投入 1 萬元進行員工培訓，則測算得自入世后第一個月起累計收入 Tn與時間 n ( 以月為單位 ) 的關(guān)系為 Tn＝ an ＋ b ，且入世第一個月時收入為 90 萬元，第二個月時累計收入為 170萬元，問入世后經(jīng)過幾個月，該公司改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入． [ 解析 ] 改革后經(jīng)過 n 個月的累計純收入為 Tn－ 300 － n 萬元， 不改革時的累計純收入為 70 n － [3 n ＋n ? n － 1 ?2 2] ， 又????? 90 ＝ a ＋ b170 ＝ 2 a ＋ b， ∴????? a ＝ 80b ＝ 10. 由題意建立不等式 80 n ＋ 10 － 300 － n 70 n － 3 n － n ( n － 1) ， 即 n2＋ 11 n － 290 0 ，得 n . ∵ n ∈ N ＋ ，取 n ＝ 13. ∴ 經(jīng)過 13 個月改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入 . 易 錯 警 示 忽視了數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別 已知 { an} 是遞增數(shù)列，且對任意 n ∈ N ＋ 都有 an＝n2＋ λn 恒成立，則實數(shù) λ 的取值范圍是 ( ) A ． ( －72，＋ ∞ ) B ． (0 ，＋ ∞ ) C ． [ － 2 ，＋ ∞ ) D ． ( － 3 ，＋ ∞ ) [ 錯解 ] an＝ n2＋ λn ＝ ( n ＋λ2)2－λ24， 對稱軸 n ＝－λ2，當 n ≥ 1 時為遞增數(shù)列， 則－λ2≤ 1 ，從而得 λ ≥ － 2 ，故選 C. [ 錯因分析 ] 數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函 數(shù)的觀點研究數(shù)列，往往忽視其 “ 特殊性 ” ，即定義域為 n ∈ N ＋ ，從而導致審題錯誤． [ 正確解答 ] ∵ { an} 是遞增數(shù)列， ∴ an ＋ 1 an，即 ( n ＋ 1)2＋ λ ( n ＋ 1) n2＋ λn ， ∴ λ － 2 n － 1 對于 n ∈ N ＋ 恒成立， 而－ 2 n － 1 在 n ＝ 1 時取得最大值－ 3 ， ∴ λ － 3 ，故選 D. [ 誤區(qū)警示 ] 數(shù)列是特殊的函數(shù)，但是在數(shù)列中 n ∈ N ＋ 在涉及到定義域時要特別注意 . 名 師 點 睛 一條主線 數(shù)列應(yīng)用廣泛，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián) 系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度．解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解． 兩個提醒 ( 1) 對等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)要有深刻的理解，有些數(shù)列題目條件已指明是等差 ( 或等比 ) 數(shù)列，但有的數(shù)列并沒有指明，可以通過分析，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決問題． ( 2) 數(shù)列是一種特殊的 函數(shù)，故數(shù)列 有著許多函數(shù)的性質(zhì)．等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，它們與函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對能力要求的進一步增加，這一部分內(nèi)容也將受到越來越多的關(guān)注． 三種思想 ( 1) 數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì) ( 多為單調(diào)性 ) ． ( 2) 數(shù)列與不等式結(jié)合時需注意放縮． ( 3) 數(shù)列與解析幾何結(jié)合時要注意遞推思想．
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