北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)24二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)-資料下載頁
2024-11-19 04:09本頁面
【導(dǎo)讀】第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)。2．會求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．。聯(lián)系去解決有關(guān)問題．。5．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x. 解它們的變化情況.主要考查二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的綜。合應(yīng)用，以及冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)，重點考查數(shù)形結(jié)合與。等價轉(zhuǎn)化兩種數(shù)學(xué)思想．對二次函數(shù)的考查，不僅有選擇。題，還有填空題；對冪函數(shù)的考查，則以選擇題或填空題。的形式出現(xiàn)，每年一般4～5分．以考查函數(shù)性質(zhì)為命題背。景，考查二次函數(shù)與冪函數(shù)的圖像的應(yīng)用的命題趨勢較強，2020年高考應(yīng)予以高度關(guān)注.在上是減少的在__. 奇偶性b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時為非奇非偶函數(shù)。對稱性圖像關(guān)于直線________成軸對稱圖形。置，c決定圖像與y軸的交點位置，a、b、c. 形如________的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是________，α
【正文】 數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式，再根據(jù)函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性． 無論 α 取何值，冪函數(shù)的圖像必經(jīng)過第一象 限，且一定不經(jīng)過第四象限． 在同一直角坐標系中畫出 y ＝ xα( α 為常數(shù) ) 和 y ＝ x ＋ α 的圖像，圖中正確的是 ( ) [ 答案 ] A [ 解析 ] 由選項 A 可知，直線過 (0 ，－ 1) ，所以 α ＝－ 1 ，y ＝ α－ 1的圖像符合；選項 B 中，由冪函數(shù)的圖像可知 0 α 1 ，而 y ＝ x ＋ α 的圖像中 α 1 ，故錯誤；選項 C 中，由冪函數(shù)的圖像可知 α 1 ，而 y ＝ x ＋ α 的圖像中 0 α 1 ，故 C 錯誤；選項 D中，冪函數(shù)中 α 0 ，而直線方程中 α 0 ，故 D 錯誤 . 已知冪函數(shù) y ＝ xm2－ 2 m － 3( m ∈ N ＋ ) 的圖像關(guān)于 y軸對稱，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上是減少的，求滿足 ( a ＋ 1) － m3 (3 －2 a ) － m3 的 a 的取值范圍． [ 思路分析 ] 由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù) m2－ 2 m －3 0 ，再結(jié)合 m 是整數(shù)，及冪指數(shù)是偶數(shù)可得 m 的值． 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 [ 規(guī)范解答 ] ∵ 函數(shù)在 (0 ，＋ ∞ ) 上遞減， ∴ m2－ 2 m － 3 0 ，解得－ 1 m 3. ∵ m ∈ N ＋ ， ∴ m ＝ 1,2. 又函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱， ∴ m2－ 2 m － 3 是偶數(shù)． 而 22－ 2 2 － 3 ＝－ 3 為奇數(shù)， 12－ 2 1 － 3 ＝－ 4 為偶數(shù)， ∴ m ＝ 1. 而 f ( x ) ＝ x－ 13 在 ( － ∞ ， 0) 和 (0 ，＋ ∞ ) 上均為減少的， ∴ ( a ＋ 1) － 13 ( 3 － 2 a ) － 13 等價于 a ＋ 1 3 － 2 a 0 或 0 a ＋1 3 － 2 a 或 a ＋ 1 0 3 － 2 a . 解得 a － 1 或23 a 32. 故 a 的取值范圍為??????????a??? a － 1 或23 a 32. [ 方法總結(jié) ] 本題集冪函數(shù)的概念、圖像及單調(diào)性、奇偶性于一體，綜合性較強，解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)．解答此類問題可分為兩大步：第一步，利用單調(diào)性和奇偶性 ( 圖像對稱性 ) 求出 m 的值或范圍；第二步，利用分類討論的思想，結(jié)合函數(shù)的圖像求出參數(shù) a 的取值范圍． 冪函數(shù) y ＝ xa，當 a 取不同的正數(shù)時，在區(qū)間 [ 0,1] 上它們的圖像是一族美麗的曲線 ( 如圖 ) ．設(shè)點 A ( 1,0) ， B ( 0,1) ，連接AB ，線段 AB 恰好被其中的兩個冪函數(shù) y ＝ xα， y ＝ xβ的圖像三等分，即有 | BM |＝ | MN |＝ | NA |. 那么， αβ ＝ ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．無法確定 [ 答案 ] A [ 解析 ] 由條得 M??????13，2 N??????23，13， 由一般性，可得13＝ (23)α，23＝ (13)β， 即 α ＝ log 23 13， β ＝ log 13 23. 所以 αβ ＝ log 23 13 log1323＝lg13lg23lg23lg13＝ 1. 易 錯 警 示 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用錯誤 設(shè) x ∈ ( 0,1) 時，函數(shù) y ＝ xp的圖像在直線 y ＝ x 的上方，則 p 的取值范圍是 ________ ． [ 錯解 ] p 0 時， y ＝ xp符合題意． [ 錯因分析 ] 考慮冪函數(shù) y ＝ xα的圖像時比較片面，沒有考慮到 α 0 ，尤其是易丟 α ＝ 0 時的情況． [ 正確解答 ] ( 1) 當 p 0 時，根據(jù)題意 p 1 ， ∴ 0 p 1. ( 2) p ＝ 0 時，函數(shù)為 y ＝ 1( x ≠ 0) ，符合題意． ( 3) p 0 時，在 (0 ，＋ ∞ ) 上過 ( 1,1) 點，函數(shù)為減少的，符合題意． 綜上所述， p 的取值范圍 ( － ∞ ， 1) ． [ 誤區(qū)警示 ] ( 1) 冪函數(shù) y ＝ xα( α ∈ R ) 的冪指數(shù) α 為常數(shù)，底數(shù) x 是自變量，要注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別． ( 2) 冪函數(shù)的圖像最多只能同時過兩個象限，一定過第一象限，一定不會過第四象限．若冪函數(shù)為偶函數(shù)，則同時過第二象限；若為奇函數(shù)，則同時過第三象限．若冪函數(shù)圖像與坐標軸相交，則交點一定是原點 . 名 師 點 睛 五個代表 函數(shù) y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ x3， y ＝ x 12 ， y ＝ x－ 1可做為研究和學(xué)習(xí)冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的代表． 兩種方法 函數(shù) y ＝ f ( x ) 對稱軸的判斷方法 ( 1) 對于二次函數(shù) y ＝ f ( x ) 對定義域內(nèi)所有 x ，都有 f ( x1) ＝f ( x2) ，那么函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖像關(guān)于 x ＝x1＋ x22對稱． ( 2) 對于二次函數(shù) y ＝ f ( x ) 對定義域內(nèi)所有 x ，都有 f ( a ＋ x )＝ f ( a － x ) 成立的充要條件是函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖像關(guān)于直線 x ＝ a對稱 ( a 為常數(shù) ) ． 三種類型 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 的最值求解涉及三種類型 ( 1) 定區(qū)間定曲線求最值． ( 2) 定區(qū)間動曲線求最值． ( 3) 動區(qū)間定曲線求最值． 不管哪種類型，要充分利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想進行解題．
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