【文章內(nèi)容簡介】 在數(shù)學(xué)建模競賽活動中，很多問題中涉及到的微分方 程是一類稱為 自治系統(tǒng) 的方程 。 自治方程 是指方程中不顯含自變量 t 的微分方程，例如 ))(,)(()(39。))(,)(()(39。,212211txtxgtxtxtxftx?????二階方程))(()(39。 txftx ?一階方程 自治方程 中的解隨時間不斷變大如有穩(wěn)定變化趨勢， 則這個解的 最終趨勢值 只能是該方程的 平衡點 。 ))(()(39。 txftx ?一階方程 的 平衡點 是指代數(shù)方程 0))(( ?txf 的根 （可能不止一個根） ； ))(,)(()(39。))(,)(()(39。tytxgtytytxftx?????二階方程的 平衡點 是 指代數(shù)方程組 0),(0),(?????yxgyxf 的解 （可能不止一組解）。 0x},{ 00 yx 如果存在某個鄰域，使微分方程的解 x ( t ) 從這個鄰域 內(nèi)的某個點 x ( 0 ) 出發(fā) ， 滿足 : ,)(lim 0xtxt ????則稱微分方程 的 平衡點 是 穩(wěn)定 的； ))(()(39。 txftx ? 0x 如果存在某個鄰域，使微分方程的解 { x ( t ) ， y ( t ) } 從這個鄰域內(nèi)的某個點 { x ( 0 ) ， y ( 0 ) } 出發(fā) ， 滿足 : ,)(l i m,)(l i m 00 ytyxtx tt ?? ?????? 則稱微分方程 的 平衡點 是 穩(wěn)定 的。 ))(,)(()(39。))(,)(()(39。tytxgtytytxftx????? },{00 yx 上述 一階自治方程 和 二階自治方程組 解的 穩(wěn)定性理論 結(jié)果可簡介如下： 非線性方程 ( 一個方程 ) 情況 形式 : x’( t ) = f ( x( t ) ) 平衡點 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意 : 有時該方程的 根不止一個 . 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t →∞ 時 , 如 x → x 0 , 則稱 x0 是穩(wěn)定的 平衡點 。 否則稱 x0 是不穩(wěn)定平衡點 . txfecxtx ???? )(00 0)( 由此 , 當(dāng) f ’( x0 ) ＜ 0 時 , x → x 0 。 當(dāng) f ’( x0 ) ＞ 0 時 , x → +∞ . (c) 一階 非線性問題的穩(wěn)定性結(jié)論 : 根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)理論 , 一階 非線性問題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與 一階 線性問題結(jié)論完全相同 . . 研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的線性替代 ( 利用一元函數(shù)的泰勒展開式 ) : f ( x ) ≈ f ’( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) = f ’( x0 )( x x0 ) 。 (b) 線性問題研究 : 求解 x’ = f ’( x0 )( x – x0 ) , 解得 非線性方程 ( 兩個方程 ) 組情況 平衡點 : 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 . y ’( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ) 形式 : x ’( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) , 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t → +∞ 時 , 如 x → x 0 , y → y 0 , 則稱 ( x0 , y0 ) 是穩(wěn)定的平衡點 。 否則稱 ( x0 , y0 ) 是不穩(wěn)定平衡點 . 上面的方程組有時可能不止一組解 . 研究方法 : (a) 作 f ( x , y ) 與 g ( x , y ) 的線性替代（利用二元函數(shù) 的泰勒展開式） : f ( x , y ) ≈ f’’x( x0 , y0 )( x x0 ) + f ’y ( x0 , y0 )( y y0 ) 。 g ( x , y ) ≈ g ’x( x0 , y0 )( x x0 ) + g ’y ( x0 , y0 )( y y0 ). (b) 線性問題研究 : 記 a1= f ’x( x0, y0 ) , a2 = f ’ y ( x0, y0 ) , b1 = g ’x ( x0, y0 ) , b2 = g ’ y ( x0, y0 ) , p = ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 a2 b1 , 并無妨設(shè) x0 = 0 , y0 = 0 。 求解 )()()(2143212121?????????????? 當(dāng)，可解得ttttecectyecectx)()()()()(21432111???????????? 當(dāng)，或ttetcctyetcctx 其中 λ1 , λ2 為特征方程 r 2 + p r + q = 0 的兩根 . 這里 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q ????????????????????)()()(39。2121tytxWbbaaAWAtW ，其中，)()()(39。)()()(39。2121tybtxbtytyatxatx??????? 或?qū)憺? (1) 當(dāng) p ＞ 0 , q ＞ 0 時 , 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q , 推得 λ1 與 λ2 均為負(fù)數(shù) ， 故當(dāng) t → +∞ 時， e λ1 t 與 e λ2 t 均趨于零 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = p , λk = α177。 βi 中 α 為負(fù)數(shù) （ k = 1 ， 2 ） ， 故當(dāng) t → +∞ 時， eλk t = eαt（ sinβt 177。 cosβt ） （ k = 1 ， 2 ） 也均趨于零 ， 系統(tǒng)仍為穩(wěn)定 的 ； (2) 當(dāng) p ＜ 0 時 , 如果 p2 – 4q ≥ 0 ，由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個為正數(shù)， 故當(dāng) t → +∞ 時， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個 趨于 +∞ ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 如果 p2 – 4q ＜ 0，仍由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λ