微分方程和差分方程簡(jiǎn)介精簡(jiǎn)版-文庫(kù)吧資料
2025-05-23 04:18本頁(yè)面
【正文】 相應(yīng)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。)()()(39。 (3) 當(dāng) q ＜ 0 時(shí) , 此時(shí)必定有 p2 – 4q ≥ 0 ， 此時(shí) 系統(tǒng)也必不穩(wěn)定 。 βi （ k = 1 ， 2 ） 中 α 為正數(shù) ， 故當(dāng) t → +∞ 時(shí) , eλk t = eαt（ sinβt 177。 cosβt ） （ k = 1 ， 2 ） 也均趨于零 ， 系統(tǒng)仍為穩(wěn)定 的 ； (2) 當(dāng) p ＜ 0 時(shí) , 如果 p2 – 4q ≥ 0 ，由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個(gè)為正數(shù)， 故當(dāng) t → +∞ 時(shí)， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個(gè) 趨于 +∞ ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = p , λk = α177。)()()(39。 求解 )()()(2143212121?????????????? 當(dāng)，可解得ttttecectyecectx)()()()()(21432111???????????? 當(dāng)，或ttetcctyetcctx 其中 λ1 , λ2 為特征方程 r 2 + p r + q = 0 的兩根 . 這里 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q ????????????????????)()()(39。( x x0 ) + g ’y ( x0 , y0 )( y y0 ) 。 否則稱 ( x0 , y0 ) 是不穩(wěn)定平衡點(diǎn) . 上面的方程組有時(shí)可能不止一組解 . 研究方法 : (a) 作 f ( x , y ) 與 g ( x , y ) 的線性替代（利用二元函數(shù) 的泰勒展開式） : f ( x , y ) ≈ f’’x( x0 , y0 ) 當(dāng) f ’( x0 ) ＞ 0 時(shí) , x → +∞ . (c) 一階 非線性問題的穩(wěn)定性結(jié)論 : 根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)理論 , 一階 非線性問題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與 一階 線性問題結(jié)論完全相同 . . 研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的線性替代 ( 利用一元函數(shù)的泰勒展開式 ) : f ( x ) ≈ f ’( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) = f ’( x0 )( x x0 ) 。tytxgtytytxftx????? },{00 yx 上述 一階自治方程 和 二階自治方程組 解的 穩(wěn)定性理論 結(jié)果可簡(jiǎn)介如下： 非線性方程 ( 一個(gè)方程 ) 情況 形式 : x’( t ) = f ( x( t ) ) 平衡點(diǎn) : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意 : 有時(shí)該方程的 根不止一個(gè) . 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t →∞ 時(shí) , 如 x → x 0 , 則稱 x0 是穩(wěn)定的 平衡點(diǎn) 。 ))(,)(()(39。 0x},{ 00 yx 如果存在某個(gè)鄰域，使微分方程的解 x ( t ) 從這個(gè)鄰域 內(nèi)的某個(gè)點(diǎn) x ( 0 ) 出發(fā) ， 滿足 : ,)(lim 0xtxt ????則稱微分方程 的 平衡點(diǎn) 是 穩(wěn)定 的； ))(()(39。))(,)(()(39。 ))(()(39。,212211txtxgtxtxtxftx?????二階方程))(()(39。 自治方程 是指方程中不顯含自變量 t 的微分方程，例如 ))(,)(()(39。 研究者對(duì)于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于 該方程解有無(wú)解析表達(dá)式的研究興趣。 也就是說(shuō)，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中 , 長(zhǎng)遠(yuǎn) 來(lái)看 , 最終發(fā)展結(jié)果與精確的初始狀態(tài)究竟如何 , 兩者 之間沒有多大關(guān)系 , 初始狀態(tài)刻畫得精確不精確是無(wú)關(guān) 緊要的。 ?????????0)0()1(iiiiidtdi????????????1,01,11)(???i)]11([ ?? ???? iidtdi模型 3 i0 i0 接觸數(shù) ? =1 ~ 閾值 ??? /?1?? ?? )( ti形曲線增長(zhǎng)按 Sti )(?感染期內(nèi) 有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù) 小01i??11/? i0 iiidtdi ?? ??? )1(模型 2(SI模型 )可以看作模型 3(SIS模型 )的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 11/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型 4 傳染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱 移出者 SIR模型 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為 )(),(),( trtsti2）病人的日接觸率 ? , 日 治愈率 ?, 接觸數(shù) ? = ? / ? 建模 1)()()( ??? trtits需建立 的兩個(gè)方程 )(),(),( trtstittNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??模型 4 SIR模型 很小）通常 000 )0((1 rrsi ???無(wú)法求出 的解析解 )(),( tsti在相平面 上 研究解的性質(zhì) is ~ttitNststtsN ?????? )()()]()([ ????????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????模型 4 ???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi?????? /?消去 dt SIR模型 }1,0,0),{( ????? isisisD相軌線 的定義域 )(si相軌線 1 1 s i 0 D 在 D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析 )(sis i 1 0 1 D 模型 4 SIR模型 相軌線 及其分析 )(si???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????0ln1000 ??????? sssiss?滿足miis ?? ,/1 ?傳染病蔓延
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