微分方程和差分方程簡介精簡版-閱讀頁
2025-06-04 04:18本頁面
【正文】 1 t 與 e λ2 t 均趨于零 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。 βi 中 α 為負(fù)數(shù) （ k = 1 ， 2 ） ， 故當(dāng) t → +∞ 時(shí)， eλk t = eαt（ sinβt 177。 如果 p2 – 4q ＜ 0，仍由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λk = α177。 cosβt ） （ k = 1 ， 2 ） 趨于 +∞ ，仍可推出 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 由 λ1 ?λ2 = q , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個(gè)為 正數(shù)， 故當(dāng) t → +∞ 時(shí)， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個(gè)趨于 +∞ ， 當(dāng) p ＞ 0 , q ＞ 0 時(shí) , 相應(yīng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的； )()()()(39。)()()(39。 綜述之，在線性方程組非臨界（ p ≠ 0 ) 情況中 (C) 非線性問題的 穩(wěn)定性結(jié)論 : (i) 若相應(yīng)的線性問題是 穩(wěn)定 的 , 則對(duì)應(yīng)非線性問題也 是 穩(wěn)定 的 ； (ii) 若相應(yīng)的線性問題是 不穩(wěn)定 的 , 則對(duì)應(yīng)非線性問題 也是 不穩(wěn)定 的 . 在非臨界情況下 （ p ≠ 0 ) ， 穩(wěn)定性模型 ? 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢(shì) ——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開發(fā) ——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 ? 如果使捕撈量等于自然增長量， 漁場魚量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 ? 當(dāng)兩個(gè)種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時(shí)，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 甲對(duì)乙有同樣的作用。 11 ??對(duì)甲增長的阻滯作用，乙大于甲 乙的競爭力強(qiáng) 模型 221 Nx??模型分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時(shí) )(),( 21 txtxt ?? (平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(l i m 022 xtxt ???模型 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 ——直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd et)(00212??平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 且 q 0 平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 或 q 0 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點(diǎn)：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當(dāng) ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時(shí)， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,de t,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點(diǎn) )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn) P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn) ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 結(jié)果解釋 對(duì)于消耗甲的資源而言，乙 (相對(duì)于 N2)是甲 (相對(duì)于 N1)的 ?1 倍。 xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (36) 若有 xn = x (n), 滿足 F(n。 xn, xn+1, … , xn+k1 ) 的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn) . 若有常數(shù) a是差分方程 (36)的解 , 即 F (n。 ② 當(dāng) ?1, 2=?是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí) ,二階常系數(shù)線性差分 方程的通解為 xn= x* + (C1 + C2 n)?n
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