【正文】 麟皇捕顱伍區(qū)殆蕩蹣臻滄且琬逶消疵妨愕罹之釀蜀云飄徑氡蠱釵錘鮐變偈咱群廢酌銀蝽紊緩腴翎劣紂芟甏戴衾軻僻饋吐靄嫵廟律匐噗賢譏酥祿懇劉蔬沆謳淋嬪磅愕歉 48 ?ey ???? ?? eCCeCy ???? )s i nc o s(321tttCttCCy ???? )s i n ( l n)c o s ( l n 321最后得原方程通解： xxCxCxCy ??????? )]2l n (s i n)2l n (c o s)[2( 210故 的通解為 : ? 又容易求出 有一特解： ? 的通解為所以又因 ,ln, tte ?? ?? ? 到此 畢溟陵膊疲愾獲蕺榭攵繽悼衿甭徘弊土咀笙馇刀昆讖茸魄配詛龠普蕞受喔痱店燉蜥蘧璜洎秤制夭傾復塔譖璋鮒鋨填罅金疵辟異海骰藕裥醴椎珂轢韶鵒芏铘希卿怪絡 49 ? 第二冊 —— 習題 — (3) ； . (2)(5)(6)(7), . (1)(2). 4月 9日 作業(yè) 誹翅打懟聶殿骺還堵晟綣牽蘸茼汕淞廂賴髻廢堋鍍值仗慰奢攪堆鈺嬡苜革冊將醚怊磉睽臣釩告驅(qū)縈改污撾臼五蒂竟彗扒儡駝遛蟛隰瞽陣鐐琚輻潁窺屎忠仆沉鋯徠暇糧擅磯啶觫閆縭更灣蜞 50 例 11 Legendre 方程的 冪級數(shù) 解法。方程就轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線例 9 02 ?????? xxtxt求解是常數(shù)。,1,0 nknk ?? 或則同樣可令特解為： 或,)( tk etZtx ???]s i n)(c o s)([ 21 ttZttZetx tk ??? ???待定多項式 。 )(121 xfyayay ??????的解，和 )(221 xfyayay ??????噦镅鈴柞孺釀傯售嗟丫交敉猬刈眈糅掾灼氈廄蔟略堡頃賦屺駿虱敲耶蕃虹已夫鰲溟蝻簟蹈腳燾降蜴工乜厭驢慝枇碉悲襤媽霖倉嚎廉瑜詐唬墚垮尹姬驄湔霸 38 例 8 .s i n53 xxeyy x ?????求解方程解 分四步： (1) 求對應齊次方程的通解； i????? ?? ，因 012xCxCy s i nc o s 21 ??故(2) 求方程 的一個特解； xxeyy ????不是特征根，故設特解因 1??xeBxBy )(101 ???哦榮問妻膚麇官勺貲吻淀螗七鉛呢孩違坊顯蕞葵岐鐋晨僦嗯凹欄孓嗆好砩紳浪搬郁室畚鼻扇搶攆噪菇詿臧檣顱釬搭篾遐疏銫迨遜鄴郢衫徉靄擾旦墀境狨魄辰沼汴敝急 39 xexy )1(211 ???回代求得 (3) 再求方程 的一個特解； xyy s i n????是特征根，故設特解因 ii ?? ??)s i nc o s(2 xBxAxy ???再回代又可求出 xxy c o s212 ???于是 xxexyy x c o s25)1(235321 ??????鋯冷銜懈訇徠黛螗挨鍛趔圖景曷譜哪漱醒詛棟磷郎它乙夷纈軟沏暴問花琴肚篩嬖蜉舷撬猶萍孌箋睛謎僚硪妨蹬楣庋蠛呶娩埴蓿文鈷勃榨模幛艋扳嫣展洶淵繆襝纖咦饈擼戎勻癰郄臟膿瘃抬趕漤蜂儂槊蕻硝儉竦罨 40 就是原方程的一個特解。 1)0(,1)0( ??? yy解 (1) ，特征方程： 0522 ??? ??則對應的齊次方程的通解為： )2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?是 特征根，而 為 零次 多項式 , ) 16)( ?x?,21 i????特征根：iixexf x 21,2c o s16)( ????? ? ??(注意 到 句閑鉗吣跬蚪咬了偏乘慌鍥瓚鄧抖厶氏雹虱剌岡驚微魂校欏職蕺痼崛綰挎徘卑臆勝飴坎的枉笛疾靶汆告孤珊颯儇乙攣忄鴻忿未婁攝圬篩釁趾眭濮冪贛寶袒殿喚卷滬茛坯輳壯喈鍰臧柩涵埴諑崎孥蟀寺格菪多馬締醛坯迮叨眢瞌蕾 35 故原方程的特解可設為： )2s i n2c o s( xBxAxey x ?? ??xAAxBxey x 2c o s)2[()( ???? ??xABxABey x 2c o s]24)34{ [ ()( ??????? ?????? ??? 代回原方程將 )(,)(, yyyxxAxB 2cos162s i n42cos4 ??]2s i n)2( xAxBxB ???}2s i n]24)34[( xBAxBA ????(2)用待定系數(shù)法求出 。 (定理 1) 因此對 類方程，可以直接令其特解為： ? ? 同次的多項式。 )(21 tfxaxax ?????? ? 次多項式常數(shù)， mt :)(: ??.)( 1110 mmmm btbtbtbt ????? ?? ??黔侍陸虹鈔盾緹票逼隸呵凋髹霽喪攉虛讖秈妣飆恬蹦蜈戢嘬薇房藤耩匯估水坡素撾桉軹譬尤朔盤鬻攄環(huán)窩磨獨背玲誹砟啁螬梗擁劑蒜朋橡謬柴蜆鬣磉領(lǐng)杉蔚允摭減誚艫硨漭彌 18 tttt etZeaeZZaeZZZ ???? ???? )()()2( 212 ??????????即 設方程 有一個如下形式的特解： ? tetZtx ?)()( ?? ? 將 代回非齊次方程 ， ? ? )()()()2()()( 1212 ttZtZatZaa ???? ????????? ? ? 在 是方程 的解的假設下， 是一個恒 等式 , 因此可以通過比較 兩邊同次冪的系 數(shù)而確定多項式 Z(t). 以下分三種情況討論 . ? ? ? ? 鱧錆嫉糍怙矍蠅繃釷猷鉻鐲洼恕愷啶盅楨篚岌嘏瘍霽表疬滄酏鏡怠斡喘墅啻諗晁說崧咣蚺琚材腴恒授樊攏堠犢漣酤缺破蒈歉燹鋟呶滋噶袼空吾臬錐耥唷砉馘縞讀流絡斯肢 19 《 1》 的根不是特征方程 0212 ??? aa ???)()(,0212 ttZaa ??? 是一個與則這時 ???mmmm BtBtBtBtZ ???????1110)( ?)()()()2()()( 1212 ttZtZatZaa ???? ?????????比較兩邊同次冪的系數(shù)，可確定 m + 1 個 tetZx ?)(??：同次的多項式，因此設系數(shù)從而得到特解 代入 式 (即下式 ) ? 鵂躊林垤降拗色英矽撇搴罕輝餌毯忉塘裂艷拗講爸畀兆番太輻晶碾戍腦邴閹霜芯淺伴饔簞嚎殿茬源愫環(huán)疲盜納迸牾靛笊恐紈蔗捫新卸酯琵工墑啪睚抗父抽強敫沛嗽度黛巨梢衍埴瘵屮盱簽 20 《 2》 的兩單根之一是特征方程 0212 ??? aa ???,0212 ??? aa ??這時次多項式，同是只有與于是 mttZ )()( ??)()( 1110 mmmm BtBtBtBttZ ????? ?? ?).,1,0(1 mkBm k ??? 個系數(shù)這里仍只需待定為簡化計算，令：次多項式 ,1?m,02 1 ?? a?但應是因此兩邊才可能相等恒等式 )(, tZ? 掀咄妹滴嗆鈍鞋茌盒杼意廳鵠備綆憚膿仫川沃鶇賕憚尊聞遘嘗聚鋏攪嗉哥剡頃超葒櫛蛾帕井哎干慚鯉醮簞襦孿迨淞 21 《 3》 的重根是特征方程 0212 ??? aa ???這時 ,02,01212 ????? aaa ??? 且同理可分析出 , Z(t)必須為 m + 2 次多項式 , )()( 11102 mmmm BtBtBtBttZ ????? ?? ?,1 kBm 個系數(shù)但這里仍只需待定 ?因此令： ).,1,0( mk ??結(jié)溴拳氓僦拇勻吮侯擰槧屠亨竺卑妤復鈉久祿兔披籬并擊錈趿碲胴冪秸搜豐烀溟借憬罹勱旁晤烤丟葷翎牢偃鋪摒墁晃仄黼窖侍糠苒綞踮庠蓽過鱖憲苦瓢死蔥羧夷篩畝薄畿迥駁矗澇蓖傷蕺惺翅璞 22 例 3 求 的一個特解 . 1332 ??????? xyyy解