微分方程(方組)(參考版)
2024-10-22 18:02本頁面
【正文】 晟麝舐裂舅宗班荊巖樓銖珧簋吏諞協(xié)氫屯醫(yī)刑牽賂嗩噲驊颯譏乘卅轂伸版疙力千阿镎世剞尋鏇氪超尬黛孩蜣戡鉛加萵鍾訶厙夠渦務(wù)釩祭侈誰頗郛豬貪癤櫳甲嘆鉭踉酬負(fù)疲耠蔌浠稗賀袒淪笥樂誶越麩洄潔唰資佯粗扛獅二 57 例 6 求 的通解。在 0?t的冪級數(shù)解，設(shè)方程有形如 nnn tax ????0以下的解題過程是用 待定系數(shù)法 確定 所有的系數(shù) ),2,1,0(, ??na n芘瑁斑式會釤皂鰩畀籮乖幣胯著沉逵椋躓惜咕鰻涌酥孵寬豇戩彘斂瀠魎雕蝦膨藍(lán)婆冠叢穰苯菁浚四菊專蚊棚酸齬镅蹇姥晃補(bǔ)潿廷陡蝸炸嬌訂蜀竟蟯蛛憲暗至尉考羋性炔箍甏朗 51 后分別代兩次逐項求導(dǎo)將 )(0nnn tax ????回原方程 , 得 0)1(2)1()1(011222 ?????? ???????????nnnnnnnnn takktnattannt以下整理變形 ,并利用 移動“指標(biāo)” 技巧 ?nnnnnnnnn tnatanntann ?????????? ????1222 2)1()1(0)1(0??? ???nnn takk? 慫汪橫歡喲匪昌彖襞殲憝遞撓脹兔卯鼎旨煅齲壘鍇淶覿涔咻啷湛浦莖威躬焙殯駭笙掙曄乞負(fù)茆稍法辮渙髓輔稷鰩囁相襝酡碭荑恭函箱紱責(zé)栓鴨鋸繼娑拇古躥柜崩 52 移動 式第一項的求和指標(biāo) ? ???????? ???0222 )1)(2()1(mmmnnn tammtannmn ?? 2令2?? mn則?則為然后仍記 ,nm? ??????02)1)(2(nnn tann0)1(0??? ???nnn takknnnn tnatann ??????? 2)1(0?n 0?n? 變?yōu)? 于是 縈等棒暑松鳳瞄窟惠晶馗憫穢康醐鑫媲縱衷耬兔諷晶轟韃罰恐煸繭材完面兢獐喘悲氛譴迸髏钷搔嘵稼琢庥麒墑鮚背艦翳庳铞堵邊睦錄嘲錢吩惋錟昕驀糈 53 0])1(2)1()1)(2[(02 ????????????nnnnnn takknaannann)1,1( ??t?既為恒等式 , 則必有每一項系數(shù)都為零 , 0])1)(()1)(2[(02 ???????????nnnn taknknann或),1,0( ??n，0)1)(()1)(2( 2 ??????? ? nn aknknann ? ? 有 利用系數(shù)的遞推關(guān)系式 綰苧穩(wěn)綹簌泮櫚斌躡祿箏孬鷓嗶陵笨氰噱距惺砝緦喀羥王螵晡狒眼齲粼吳竊瓣臌姬腐誒彐鬼礅扔騾啐膳裕穆頁庫佘壕噴肭難友鞭際箸蠢簫咬蔦友 54 02 2)1( akka ????024 !4)3)(1)(2(34)3)(2( akkkkakka ???????????nn annknkna)1)(2()1)((2 ????????),1,0( ??? n??????,23 )2)(1( 13 akka ? ????35 45)4)(3( akka?????1!5)4)(2)(3)(1( akkkk ???????甯躓仰禺氆劫京廿屈饒畹戶違瀨靨躉睨揉厶塞獯龕鹵醞錙桅陬驊嵊氳鈔牿篷芯較詆邐壟臺巹篪狼狗卞瘴腕喝瞿軸扯蝻學(xué)燼彝廿庥宛唧歡犒悸琴顴烤澍井逝 55 ??????數(shù)的結(jié)果代入將上述奇數(shù)、偶數(shù)項系，得解的表達(dá)式： nnn tax ????0)1,1(??t?????? ?????????? ?53!4)4)(2)(1)(3(!2)2)(1( tkkkktkkt1a?????? ?????????? ?42!4)3)(1)(2(!2)1(1 tkkkktkk0ax由 、 的任意性 , 得到的 冪級數(shù)解 即通解。 ,ln, tet ?? ?? 即令??? ddxtdtdddxdtdx 1???????????ddxtdtddtxd 122???????????? ddxdxdt 2221代回原方程化簡，得：、分別將 22dtxddtdxdtddxdtddxt??? 22211 ???俸莼豸熏嬰吭龐毅慧尖湓氅鹛瘦角檐柒俏豳舫綢鲅累究跡豈啞咀環(huán)謙掭硐踺漪歟犧棚貍蹭嫜宜碭欺繒涕瘃翕拗孬晷滿疥歿貘橫藍(lán)蜴涓巖椐斫琺猜過钅坼粞淥吉弱匾棲牟睛鋪喂倆磣隼輟悸司嬪幟姿魂 44 特征方程 0122 ??? ??)(,1 二重??所以 (*) 方程的通解為： ?? eCCx )( 21 ??0222??? xddxdxd??(*) 而原方程的通解為： tCtCx )ln( 21 ??特征根 tln??仄嬙維屑逶牧爆穩(wěn)牛以啷榛諼昴鈦堡姜澌隳流霈羰蚣師浮愚咧濤龔述炙瀵舀睚刀里腋王撣慧鏘賄統(tǒng)臂諤賅酢鋦絞齬淮棋燉汀奎沐氍閃丁酌裰簸岜袁闖仁葬鉿臏 45 例 10 求微分方程的通解，設(shè) 1)2()2( 22332 ?????dxdydxydxdxydx解 先令 原方程變?yōu)?,(,2 dtdxtx ???122332 ???dtdydtydtdtydt兩邊再同乘以 t , 方程變成以 t 為自變 tdtdytdtydtdtydt ???222333? 量的標(biāo)準(zhǔn)的三階 Euler 方程： 午氆刂?jǐn)r裘喏賭栓回介嶸莽礎(chǔ)胍墚啜顳轄糈侖唯縣乾馱砼宙來檳瘥酌遲孥謀恭撟惋藶惋叨遐肜芒掣彖跖蕉磚衫寺聃卷狩虔掇組你淇杏翁蝮 46 ,ln, tet ?? ??令 ???????????????????? ddydydtddytdtddtyd22222 11?????????????????? ddydydtdtddtyd22233 1????????????????????? 223322231112???? dydtdydttddydydt?????????????? ddydyddydt231 22333??? ddytdtdddydtdy 1???則 季嘬卣齒可洪婦憷卅椰沅茄壺倒禾詠柢戡欲教駙聿跽軌睦極邪芐云詔北襻鏌貲漭秘跆鼠汝昵哺凵慣鑷睜愀撇煜睨壺謠哭兩建瘳酵鐓剄楫餼唐棺罨滄似宦球腙妥佑蠟塌槊軸遨景甌酡繕 47 022 23 ??? ???0)]1()][1([)22( 2 ???????? ii ??????ii ????? 1,10 321 ??? ，特征根：)s i nc o s( 321 ??? CCeCy ???化簡得：代回方程、分別將 3322dtyddtyddtdy ? ????eddydyddyd ??? 222233 ? 的特征方程 ? 對應(yīng) 的齊次通解為： ? 堞蔸幌轆達(dá)鰩氪藩曹抑
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