微分方程與微分方程建模法(參考版)
2025-06-27 22:55本頁面
【正文】 7。設(shè)表示年齡，表示時間，表示時刻年齡小于的人口總數(shù)，記為人類壽命的上限，為時的總?cè)丝跀?shù)，設(shè)為人口密度，為死亡率函數(shù)。3）偏微分方程模型 當(dāng)我們要考察的量同時與兩個變量有關(guān)時，要想描述其變化率的關(guān)系，則通常要用偏微分方程模型來描述。記時段第i年齡組的種群數(shù)量為，記時段種群各年齡組的分布向量為則我們可以建立人口增長的差分方程模型為此處L為已知矩陣。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過m組的年齡?？紤]按年齡分組的種群增長模型，我們介紹Leslie在20世紀(jì)40年代建立的一個具有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型。2）差分方程模型 上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定。Verhulst修改了上述模型，引入本地區(qū)自然資源和環(huán)境條件允許下的最大人口數(shù)目為，給出了類似于電感器產(chǎn)生阻抗的生物反饋因子，將Malthus模型中的假設(shè)條件“，人口自然增長率r為常數(shù)”修正為人口自然增長率為 ，得出上述模型的修正模型該模型為著名的Logistic(邏輯斯諦)模型，方程為變量分離方程，帶入初始條件，可以求出其解。1837（8）年，荷蘭生物學(xué)家P。經(jīng)過對一些地區(qū)具體人口資料的分析，發(fā)現(xiàn)在人口基數(shù)較少時，人口的繁衍增長起重要作用，人口的自然增長率r基本為常數(shù)，但隨著人口基數(shù)的增加，人口增長將越來越受自然資源、環(huán)境條件等的限制。1798年，英國神父Malthus建立了最簡單的人口增長模型為得出了人口按幾何級數(shù)增長的結(jié)論。下面，我們僅以人口問題為例，說明用常微分方程、偏微分方程和差分方程建立的人口問題模型。5．熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套用這些模型。 例如在幾何上求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、旋轉(zhuǎn)體體積、空間立體體積[3]；代數(shù)方面求近似值[3]以及流體混合問題[4]；物理上求變力做功、壓力、平均值、靜力矩與重心[3]；這些問題都可以先建立他們的微分方程模型，然后求解其模型。這樣，我們就可以建立起該問題的微分方程模型：。那么就可以考慮利用微元法來建立微分方程模型，其步驟是：首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如t為自變量，并確定其變化區(qū)間[a, b]；在區(qū)間[a, b]
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