微分方程與微分方程建模法(已修改)
2025-07-06 22:55 本頁面
【正文】 第三章 微分方程模型一、 微分方程知識簡介我們要掌握常微分方程的一些基礎(chǔ)知識，對一些可以求解的微分方程及其方程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的體系：(1)初等積分法（一階方程及幾類可降階為一階的方程）(2)一階線性微分方程組（常系數(shù)線性微分方程組的解法）(3)高階線性微分方程（高階線性常系數(shù)微分方程解法）。其中還包括了常微分方程的基本定理。0． 常數(shù)變易法：常數(shù)變易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出現(xiàn)過，它是由線性齊次方程（一階或高階）或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解的一種方法。1． 初等積分法：掌握變量可分離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法，掌握全微分方程（含積分因子）的解法，會一些一階隱式微分方程的解法（參數(shù)法），會幾類可以降階的高階方程的解法（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程）。分離變量法：（1）可分離變量方程： (2) 齊次方程： 常數(shù)變易法：(1) 線性方程， (2) 伯努里方程，積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。對于一階隱式微分方程有參數(shù)法：(1) 不含x或y的方程: (2) 可解出x或y的方程：對于高階方程，有降階法： 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程一階方程的應(yīng)用問題（即建模問題）。2．一階線性微分方程組：本部分主要內(nèi)容有：一是一階線性微分方程組的基本理論（線性齊次、非齊次微分方程組的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等），二是常系數(shù)線性微分方程組的解法（求特征根，單根與重根[待定系數(shù)法]），三是常數(shù)變易法。本部分內(nèi)容與線性代數(shù)關(guān)系密切，如線性空間，向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)，基與維數(shù)，特征方程、特征根與特征向量，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型等。3． 高階線性微分方程：了解高階線性微分方程的基本理論（線性齊次、非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等）；n階線性常系數(shù)微分方程解法：（1）求常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的待定指數(shù)函數(shù)法；（2）求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法；（3）求特殊型非齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法；（4）求解初值問題的拉普拉斯變換法；（5）求二階線性方程的冪級數(shù)解法。4． 常微分方程的基本定理：常微分方程的幾
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