微分方程與微分方程建模法(編輯修改稿)
2024-07-21 22:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 建立微分方程模型的[5]。又如在天文學、氣象學中常用到的等角軌線，已知曲線或曲線族(c)，求曲線（等角軌線或正交軌線），使與(c)中每條曲線相交成給定的角度（這是題目中明確給出的條件，即曲線的切線相交成給定的角度，這樣，就在它們的導數(shù)之間建立了聯(lián)系），又題目中隱含的條件是：在與(c)中曲線相交點處，它們的函數(shù)值相等；這樣，我們只要求出已知曲線或曲線族的微分方程，根據(jù)它們之間的聯(lián)系，就可以建立等角軌線的微分方程模型，從而求出等角軌線的方程[5]。2．從一些已知的基本定律或基本公式出發(fā)建立微分方程模型。我們要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如從幾何觀點看，曲線y=y(x)上某點的切線斜率即函數(shù)y=y(x)在該點的導數(shù)；力學中的牛頓第二運動定律：f=ma,其中加速度a就是位移對時間的二階導數(shù)，也是速度對時間的一階導數(shù)；電學中的基爾霍夫定律等。從這些知識出發(fā)我們可以建立相應的微分方程模型。 例如在動力學中，如何保證高空跳傘者的安全問題。對于高空下落的物體，我們可以利用牛頓第二運動定律建立其微分方程模型，設物體質(zhì)量為m，空氣阻力系數(shù)為，在速度不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設時刻t時物體的下落速度為，初始條件：。由牛頓第二運動定律建立其微分方程模型：求解模型可得：由上式可知，當時，物體具有極限速度：，其中，阻力系數(shù)，為與物體形狀有關的常數(shù)，為介質(zhì)密度，s為物體在地面上的投影面積。根據(jù)極限速度求解式子，在一定時，要求落地速度不是很大時，我們可以確定出s來，從而設計出保證跳傘者安全的降落傘的直徑大小來。3．利用導數(shù)的定義建立微分方程模型。 導數(shù)是微積分中的一個重要概念，其定義為，商式表示單位自變量的改變量對應的函數(shù)改變量，就是函數(shù)的瞬時平均變化率，因而其極限值就是函數(shù)的變化率。函數(shù)在某點的導數(shù)，就是函數(shù)在該點的變化率。由于一切事物都在不停地發(fā)展變化，變化就必然有變化率，也就是變化率是普遍存在的，因而導數(shù)也是普遍存在的。這就很容易將導數(shù)與實際聯(lián)系起來，建立描述研究對象變化規(guī)律的微分方程模型。 例如在考古學中，為了測定某種文物的絕對年齡，我們可以考察其中的放射性物質(zhì)（如鐳、鈾等），已經(jīng)證明其裂變速度（單位時間裂變的質(zhì)量，即其變化率）與其存余量成正比。我們假設時刻t時該放射性物質(zhì)的存
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