【文章內(nèi)容簡介】 ? , 分離變量得 xxppp dd ?? 212 , 兩邊積分 12 lnln)1l n ( Cxp ??? ， 得 xCp 121 ?? . 即 11 ??? xCp , 也即 11 ???? xCy . 所以 13221 1 212( 1 ) d ( 1 )3y C x x C x CC? ? ? ? ? ? ?? 為所求方程的通解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 49 方程的解法：求解這類方程可令 )( ypy ?? 則 pypxyyypxyydddddddd??????)(, 于是 , 方程 ),( yyfy ???? 可化為 ),( pyfypp ?dd. 三 、 ),( yyfy ???? 型的微分方程 方程的特點：右端不顯含自變量 x . 這是關(guān)于 y 和 p 的一階微分方程 , 如能求出其解),(1Cyp ?? , 則可由 ),(1Cyxy??dd求出原方程的解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 50 .02 的通解求方程 ????? yyy解 ,dydPpy ???則 ),( ypy ??設(shè)代入原方程得 ,02 ??? PdydPPy ,0)( ??? PdydPyP即，由 0??? PdydPy ,1 yCP ?可得.12 xCeCy ?原方程通解為 ,1 yCdxdy ??例 4 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 51 .02 的通解求方程 ????? yyy解 將方程寫成 ,0)( ??yydxd,1Cyy ??故有 ,1 dxCy d y ?即積分后得通解 .212 CxCy ??注意 : 這一技巧性較高 , 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程 . 例 5 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 52 例 6. 解初值問題 解 : 令 ???02 ???? yey,00 ??xy 10 ?? ?xy),( ypy ?? ,dd yppy ???則 代入方程得 積分得 1221221 Cep y ??利用初始條件 , ,0100 ???? ?? xy yp,01 ?C得 根據(jù) yepxy ??dd積分得 ,2Cxe y ??? ? ,00 ??xy再由 12 ??C得故所求特解為 xe y ?? ?1得 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 53 小結(jié) ： 三類可降階的高階方程 ? ? ? ?ny f x?一 、 型? ? ? ?,y f x y y?? ??二 、 型 不 顯 含? ? ? ?,y f y y x?? ??三 、 型 不 顯 含解法：求 n次積分即可 22,dy d y dppdx dx dx??解 法 ： 令 則 化 為 兩 個 一 階 方 程 求 解 .22, = ,d y d y d p d pppd x d x d x d y??解 法 ： 令 則 化 為 兩 個 一 階 方 程 求 解 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 54 解法 通過代換將其化成較低階的方程來求解 . 思考題 已知 31?y ，223 xy ?? ，xexy ???233都是微分方程? ? ? ? ? ? ? ?162222 22 ?????????? xyxyxyxx的解，求此方程所對應(yīng)齊次方程的通解 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 55 思考題解答 321 , yyy? 都是微分方程的解 , ,23 xeyy ??? ,212 xy ??是對應(yīng)齊次方程的解 , 21223xeyyyy x???? ?常數(shù) 所求通解為 ? ? ? ? ?122231 yyCyyCy ????.221 xCeC x ??上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 56 一、求下列各微分方程的通解 :1 、xxey ???? ； 2 、21 yy ????? ；3 、 yyy ??????3)( ； 4 、 0122?????? yyy .二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解 :1 、 0,1,01113????????? xxyyyy ；2 、 1,0,0002??????????? xxyyyay ；3 、 2,1,300???????? xxyyyy .三、 試求xy ???的經(jīng)過點)1,0(M且在此點與直線12??xy 相切的積分曲線 .練 習(xí) 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 57 練習(xí)題答案 一、 1 、32123 CxCxCexeyxx????? ； 2 、21)c o s (ln CCxy ???? ； 3 、12)a rcs i n( CeCyx?? ； 4 、xCxCy2111??? .二、 1 、22 xxy ??； 2 、 )1l n(1??? axay ； 3 、4)121( ?? xy .三、121613??? xxy.上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 58 第四節(jié) 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 一、兩個函數(shù)的線性相關(guān)性 二、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 四、小結(jié) 思考題 三、二階線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 59 二階線性微分方程 )()()(22xfyxQdxdyxPdx yd ???時，當(dāng) 0)( ?xf 二階線性齊次微分方程 時，當(dāng) 0)( ?xf 二階線性非齊次微分方程 n階線性微分方程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 60 定義 設(shè)函數(shù) y1(x) 和 y2(x) 是定義在某區(qū)間 I 上的兩個函數(shù) ， k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 不失一般性， 考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)， 我們往往采用另一種簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)， 事實上 ，當(dāng) y1(x) 與 y2(x) 線性相關(guān)時 ， 有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全為 0， ,012211 kkyyk ??? 則設(shè)如果存在兩個不全為 0 的常數(shù) k1和 k2， 使 在區(qū)間 I 上恒成立 . 則稱函數(shù) y1(x) 與 y2(x) 在區(qū)間 上是 線性相關(guān) 的，否則稱為 線性無關(guān) . 一、兩個函數(shù)的線性相關(guān)性 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 61 即 y1 與 y2 之比為常數(shù) . 反之 ， 若 y1 與 y2 之比為常數(shù) ， ,21 ??yy設(shè) 則 y1 = ? y2，即 y1 ? y2 = 0. 所以 y1 與 y2 線性相關(guān) . 因此 ， 如果兩個函數(shù)的比是常數(shù) ， 則它們線性相關(guān)； 例如函數(shù) y1 = ex， y2 = e x， 12( yy ? 常 數(shù) ) ，如果不是常數(shù) 則它們線性無關(guān) . 例如 線性無關(guān) ,s i n,c o s 21 xyxy ??,0???? yy,t a n12 常數(shù)且 ?? xyy上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 62 問題 : 一定是通解嗎？2211 yCyCy ??( ) ( ) 0y P x y Q x y?? ?? ? ?12yy如 果 函 數(shù) 與 是 方 程的 兩 個 解 ，1 1 2 2( ) ( ) 0y C y C yy P x y Q x y???? ?? ? ?那 么 也 是的 解 。是常數(shù)）（ 21 , CC二、二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu) 定理 1: 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 63 定理 2 如果函數(shù) y1 與 y2 是二階線性齊次方程 y? + p(x)y? + q(x)y = 0 的兩個線性無關(guān)的特解 ， y = C1 y1 + C2 y2 是該方程的通解， 則 其中 C1, C2為任意常數(shù) . 例如 , 方程 有特解 且 xy ta n2 ?1y 常數(shù) , 故方程的通解為 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 64 : 3定理 是二階非齊次線性方程設(shè) ?y的一個特解，)()()( xfyxQyxPy ??????( ) ( ) ( )( ) ( ) 0Y y P x y Q x y f xy P x y Q x y?? ?? ? ??? ?? ? ?是 與 對 應(yīng) 的齊 次 方 程 的 通 解 ，是二階非齊次線性微分那么 ??? yYy( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?方 程 的 通 解 。上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 65 解的疊加原理 4定理( ) ( ) ( )()y P x y Q x y f xfx?? ?? ? ?設(shè) 非 齊 次 方 程的 右 端 是 幾 個 函 數(shù) 之 和 ，)()()()( 21 xfxfyxQyxPy ???????如分別是方程與而 ?? 21 yy)()()( 1 xfyxQyxPy ??????)()()( 2 xfyxQyxPy ??????就是原方程的特解。的特解，那么 ?? ? 21 yy上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 66 一、 驗證21xey ? 及22xxey ? 都是方程0)24(42??????? yxyxy 的解 , 并寫出該方程的通解 .二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解 :1 、 ),(ln212221是任意常數(shù)ccxxcxcy ?? 是方程 0432?????? yyxyx 的通解；2 、 ),(2)(12121是任意常數(shù)cceececxyxxx????是 方程xexyyyx ?????? 2 的通解 .練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 2)( 21 xexCCy ?? . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 67 第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 一、二階常系數(shù)線性齊次微分方程 思考題 二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 68 定義 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準形式 0?????? qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準形式 )( xfqyypy ??????二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準形式 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 69 一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 特征方程法 ,rxey ?設(shè) 將其代入上方程 , 得 0)( 2 ??? rxeqprr ,0?rxe?故有 02 ??? qprr 特征方程 ,2 422,1qppr ????特征根 0?????? qyypy上頁