【文章內容簡介】 xy u x e u x()( ) ( 1 ) ( ( ) ) ( *)? ??設 　 　 是 的 解 其 中 待 定 　 － 　將 y 和 代入（ 1）： y?齊次方程通解 非齊次方程特解 ?? xxPCe d)( xexQe xxPxxP d)( d)(d)( ?? ????????? ?? ?? ?? CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(?y即 ( ) 0,y p x y? ??1. 對 于 一 階 線 性 分 離 變齊 次 方 程 量 法 解 得() ()p x d xy c e c? ?? 為 任 意 常 數(shù)y P x y Q x( ) ( )? ??非 齊 次 微 分求 一 階 線 性 的方 程 解 的 方 法 :2. 常 數(shù) 變 易 法 求 相 應 非 齊 次 方 程 的 解 , 設 其 解 為 :()( ) ( )p x d xy u x e u? ?? 為 待 定 函 數(shù)3. 代 入 原 非 齊 次 微 分 方 程 解 得 其 通 解 為P x d x P x d xy e Q x e d x cc( ) ( )( ( ) ())? ???? ? 為 任 意 常 數(shù)3239。 ( 1 )1y y xx? ? ??例 　 求 的 通 解 21 39。 01yy x???、 求 的 通 解21dy dxyx? ?2ln | | 2 ln ( 1 ) ln ln | | ln ( 1 )y x c y c x? ? ? ? ?　 即 　 　2( 1 )y c x??通 解 為 　解 ： 22 ( 1 )y u x??、 設 是 原 方 程 的 解 ， 則239。 39。( 1 ) 2 ( 1 )y u x u x? ? ? ?2339。( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 )u x u x u x x? ? ? ? ? ? ?代 入 方 程 ：21 ( 1 )2u x c? ? ? 221 ( 1 ) ( 1 )2y x c x??? ? ? ?????原 方 程 的 通 解也可以直接代公式求解 32 ( 1 )1p q xx? ? ? ?? 　 , 　22 ln | 1 | ln( 1 )p d x x x ?? ? ? ? ??3 2 21( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2pdxq e d x x x d x x d x x c?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?221[ ( 1 ) ] ( 1 )2p d x p d xy q e d x c e x c x????? ? ? ? ? ???? －方 程 通 解 ： 39。 ( 1 )ux??得 　 　 　 　例 用常數(shù)變易法求一階線性方程通解 s inc os xdy y x edx???解：齊次方程通解： c o s s i nx d x xy C e C e? ????用常數(shù)變易法，令 s i n() xy C x e ??s i n s i n( ) c o s ( )xxy C x e x C x e????? ? ?代入原方程得 s i n s i n() xxC x e e??? ?即 ()C x x C??故通解為 s i n() xy x C e ???30( ) 0|1xy d x x y d yy ?? ? ? ?? ??例 　 求 方 程 特 解 ：解：若將方程寫為 339。0yyxy???它顯然不是線性方程，將方程改寫作 30d x x yd y y??? 　 39。 ( ) ( )x p y x q y??那 么 上 式 形 如 ： 的 線 性 微 分 方 程24111( ) ,4pdyp y d y d y q e d y y y d y y cy?? ? ? ? ?? ? ? ?因 　 　43 1111 1 1( ) ( )44p d y p d y cx e q e d y c y c yyy? ??? ? ? ? ? ??于 是 由 公 式 得4 14 ( 4 )xy y c c c? ? ?或 　 　 21dx x y x yd y y??即 ， 將 看 作 是 的 函 數(shù)4 104 ( 4 ) | 1 1xxy y c c c y c?? ? ? ? ? ?通 解 為 ： 。 以 代 入 ， 得 ，44 y??特 解3 20( ) ( ) ( ) , ( )3x xtf x f x f d t e f x???例 已 知 連 續(xù) 函 數(shù) 滿 足 條 件 求解：因“＝”右端均為可導函數(shù)，故左端也可導，兩邊對 x求導 22( ) 3 ( ) 2 , ( ) 3 ( ) 2xxf x f x e f x f x e??? ? ? ?即dx dxxxxy e e e dx ce e c? ? ??????? ? ??33 23( 2 )( 2 )通 解 為 ：00( 0 ) ( ) 1 13tf f d t? ? ??初 始 條 件 ：1c??xxf x e e ?? ? ? ?3( ) ( 2 1 )伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標準形式 : )()(dd 1 xQyxPxyy nn ?? ??令 ,1 nyz ?? xyynxz n dd)1(dd ???則)()1()()1(dd xQnzxPnxz ????求出此方程通解后 , 除方程兩邊 , 得 換回原變量即得伯努利方程的通解 . 解法 : (線性方程 ) )0,0(4 ???? xyyxyxdxdy例 求方程 的通解 解：這是伯努力方程 ，其中 則 可降階高階微分方程 (1) 型的微分方程 (2) 型的微分方程 (3) 型的微分方程 ()y f x?? ?(1)、 型的微分方程 令 則 ()u x y ??()u f x? ?兩端積分得 1( ) ( )u x f x d x C???則 1()y f x d x C? ???再積分，得通解 12( ( ) )y f x d x d x C x C? ? ???例 求方程的通解 xey x c o s2 ?????積分一次得 22111( c os ) sin2xxy e x dx C e x C?? ? ? ? ? ? ??再積分一次得 2122121( si n )21c os4xxy e x C dx Ce x C x C? ? ? ? ?? ? ? ??最后積分得 ? ????? 3212 )c os41( CdxCxCxey x3221221s i n81 CxCxCxe x ?????),( yxfy ???? 型的微分方程 設 ,)( xPy ?? 原方程化為一階方程 設其通解為 ),( 1CxP ??則得 ),( 1Cxy ???再一次積分 , 得原方程的通解 21 d),( CxCxy ?? ? ?(2)、 例 求方程 滿足初始條件 的特解。 212xyxy?????3,1