[理學]x08-1_2_3一階微分方程(編輯修改稿)
2025-02-15 14:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?2222yxyxxyydxdy????,1222????????????????xyxyxyxy,xyu ?令.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 3 求解微分方程 解 2212uuuudxduxu????? ,1231223222uuuuuuuuuudxdux??????????xdxduuuuuu ??????)2)(1(1 2,dxduxudxdy ???,lnlnln21)2l n (23)1l n ( Cxuuu ??????.)2(123 Cxuuu ???微分方程的解為 .)2()( 32 xyCyxy ???,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????,代回將 xyu ?例 4 有旋轉曲面形狀的凹鏡，假若由旋轉軸上一點 O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉軸平行 求曲線 方程 解： MP/AP = y’ 2239。y yx x y???1)( 2 ??? yxyxdydx2,1x d u d yuyyu?? ?令2222l n | |dx x x a Cxa? ? ? ???2l n | 1 | l n | | l nu u y C? ? ? ?2( ) 1xx Cyyy? ? ?221 (1 2 )y c xC??x y O P M ???A 一般的可化為可分離變量的微分方程 通過變量代換將微分方程 化為可分離變量的微分方程 形式。 例 求下列方程通解 15?????yxyxdxdy令 xyu 1 。dydx x y??解 ,uyx ??令 ,1?? dxdudxdy則代入原式 ,11 udxdu ??分離變量法得 ,)1l n ( Cxuu ????,代回將 yxu ?? 所求通解為 ,)1l n ( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或另解 .yxdydx ??方程變形為2( ) .dy xydx??解 ,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程 21 udxdu ?? ,ar c tan Cxu ??解得得代回 ,yxu ?? ,)ar c tan ( Cxyx ???原方程的通解為 .)t a n ( xCxy ???) ( ) ( x Q y x P dx dy ? ? 一階線性微分方程 的標準形式 : Q(X)=0 方程稱為 齊次的 . Q(X)? 0 方程稱為 非齊次的 . 一階線性微分方程 例如 , sin 2 t t x dt dx ? ? .0)( ?? yxPdxdy,)( dxxPydy ?? ,)(?? ?? dxxPydy,ln)(ln CdxxPy ??? ?（定理 81）齊次方程的通解為 .)(?? ? dxxPCey一階線性齊次微分方程的 解法 (使用分離變量法 ) 線性齊次方程 的解法 ： 1） 可分離變量： 2) 公式： .)(?? ? dxxPCey例 求 y’+ y / (1+x)=0 滿足初始條件 y(1)=1的特解。 ,)( dxxPydy ??.0)( ?? yxPdxdy 線性非齊次方程的解法 線性非齊次方程的解線性齊次方程的解之間的關系： ).()( xQyxPdxdy ?? ,)()( dxxPyxQydy ?????? ???兩邊積分 ,)()(ln ?? ?? dxxPdxy xQy),()( xvdxyxQ 為設 ? ,)()(ln ???? dxxPxvy.)()( ??? dxxPxv eey即相比，就是將： )( xuC ??? ? dxxpexu )()(.)(?? ? dxxPCey?常數(shù)變易 (位）法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 ?? ? dxxPexuy )()(,)]()[()( )()( ??????? ?? dxxPdxxP exPxuexuy.)(?? ? dxxPCey齊次方程的通解 變易成 y,y’代入線性非齊次方程得 ,)()( )( CdxexQxu dxxP ??? ?),()( )( xQexu dxxP ??? ?一階線性非齊次微分方程的通解為 : ???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([).()( xQyxPdxdy ??一階線性非齊次微分方程的通解為 : ???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(對應齊次方程通解 非齊次方程特解 ).()( xQyxPdxdy ?? 求解方法 ： 注 :1) 非齊次方程通解 = 對應齊次方程通解 + 非齊次方程一特解 2） 常數(shù)變易 。 3) 公式 例 1 求下列方程通解 1) x y’
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