常微分論文關(guān)于一階微分方程的解的存在的探討(編輯修改稿)
2025-07-09 12:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 | ( ) ( ) | ( )xxxxxxg x x x f f df f dL d L g d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ????? 令0( ) ( )xxu x L g d??? ? ,則 ()ux 是 00x x x h? ? ? 的連續(xù)可微函數(shù) ,且 0( ) 0ux? , 0 ( ) ( )g x u x??, ( ) ( )u x Lg x? ? , ( ) ( )u x Lu x? ? ,( ( ) ( )) 0Lxu x Lu x e ?? ??, 即 ( ( ) ) 0Lxu x e? ?? ,于是在 00x x x h? ? ? 上 , 00( ) ( ) 0LxLxu x e u x e ?? ?? 故 ( ) ( ) 0g x u x??,即 ( ) 0gx? , 00x x x h? ? ? ,命題得證 . （ 三 ） 、 對(duì)定理說(shuō)明 附注 : 存在唯一性定理中 min( , )bhaM? 的幾何意義 . 在矩形域 R 中 ( , )f x y M? ,故方程過(guò) 00( , )xy 的積分曲線 ()yx?? 的斜率必介于 M? 與 M 之間 ,過(guò)點(diǎn) 00( , )xy 分別作斜率為 M? 與 M 的直線 . 當(dāng) bM a? 時(shí)，即 ba M? ,（如圖 (a)所示），解 ()yx?? 在 00x a x x a? ? ? ?上有定義；當(dāng)bM a? 時(shí) ,即 b aM? ,（如圖 (b)所示），不能保證解在 00x a x x a? ? ? ?上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形 R 外去，只有當(dāng)00bbx x xMM? ? ? ?才能保證解 ()yx?? 在 R 內(nèi)，故要求解的存在范圍是 0||x x h??. 由于 李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi) 事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來(lái)代替他，即如果函數(shù) ),( yxf 在矩形域 R 上關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) ),(39。 yxfy 存在并有界， 即39。 ( , )yf x y L? ，則李普希茲條件條件成立 . 事實(shí)上 2 1 21 2 1 212( , ( ) )| ( , ) ( , ) | | || | | |f x y y yf x y f x y y yyL y y?? ? ?? ? ???? 這里 12( , ) , ( , ) , 0 1x y x y R ?? ? ?. 如果 ),(39。 yxfy 在 R 上連續(xù)， 它 在 R 上當(dāng)然滿足李普希茲條件 .但是 ,滿足 李普希茲條件 的函數(shù) ),( yxf 不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在 .例如函數(shù) ( , ) | |f x y y? 在任 何區(qū)域都滿足 李普希茲條件 ,但它在 0y? 處沒(méi)有導(dǎo)數(shù) . 設(shè)方程 ()是線性的 ,即方程為 ( ) ( )dy P x y Q xdx ?? 易知 ,當(dāng) ( ), ( )P x Qx 在區(qū)間 [ , ]?? 上連續(xù)時(shí) ,定理 1的條件就能滿足 ,且對(duì)任一初值0 0 0( , ), [ , ]x y x ??? 所確定的解在整個(gè)區(qū)間 [ , ]?? 上有定義、連續(xù) . 實(shí)際上 ,對(duì)于一般方程 (),由初值所確定的解只能定義在 0||x x h??上 ,是因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 { ( )}n x? 時(shí) ,要求它不越出矩形域 R ,此時(shí) ,右端函數(shù)對(duì) y 沒(méi)有任何限制 ,只要取0[ , ]m a x | ( ) ( ) |xM P x y Q x?????. Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件 . 例如 試證方程 0 = 0ln | | 0 ydy yydx y ??? ?? 經(jīng)過(guò) xoy 平面上任一點(diǎn)的解都是唯 一的 . 證明 0y? 時(shí) , ( , ) ln | |f x y y y? ,在 0y? 上連續(xù) , ( , ) 1 ln | |yf x y y? ?? 也在 0y? 上連續(xù) ,因此對(duì) x 軸外的任一點(diǎn) 00( , )xy ,方程滿足 00()y x y? 的解都是唯一存在的 .又由 ln | |dy yydx? 可得方程的通解為 xceye?? ,其中 xceye? 為上半平面的通解 , xceye?? 為下半平面的通解 ,它們不可能與 0y? 相交 .注意到 0y? 是方程的解 ,因此對(duì) x 軸上的任一點(diǎn) 0( ,0)x ,只有 0y? 通過(guò) ,從而保證 xoy 平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的 . 但是 | ( , ) ( , 0) | | l n | || | l n | || | |f x y f x y y y y? ? ? 因?yàn)?lim | ln | ||y y? ? ??,故不可能存在 0L? ,使得 | ( , ) ( , 0) | | |f x y f x L y?? 所以方程右端函數(shù)在 0y? 的任何鄰域并不滿足 Lipschitz條件 . 此題說(shuō)明 Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件 . 2)考慮一階隱方程 ( , , ) 0F x y y? ? () 由隱函數(shù)存在定理 ,若在 000( , , )x y y? 的某一鄰域內(nèi) F 連續(xù)且 000( , , ) 0F x y y? ?,而 0Fy? ???,則必可把 y 唯一地表為 ,xy的函數(shù) ( , )y f x y?? () 并且 ( , )f xy 于 00( , )xy 的某一鄰域連續(xù) ,且滿足 0 0 0( , )y f x y? ? 如果 F 關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,則 ( , )f xy 對(duì) ,xy也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,并且 /f F Fy y y? ? ??? ?? ? ? () 顯然 它是有界的 ,由定理 1可知 ,方程 ()滿足初始條件的 0( ) 0yx? 解存在且唯一 .從而得到下面的定理 . 定理 2 如果在點(diǎn) 000( , , )x y y? 的某一鄰域中 : ⅰ ) ( , , )F x y y? 關(guān)于所有變?cè)?( , , )xy y? 連續(xù) ,且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)； ⅱ） 000( , , ) 0F x y y? ? ⅲ） 000( , , ) 0F x y yy ?? ??? 則方程（ ）存在唯一的解
畢業(yè)設(shè)計(jì)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1