常微分方程的求解方法(編輯修改稿)
2025-02-16 04:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )( ?? xix ee ?? ?這兩個特解含虛數(shù)。利用歐拉公式可以求得實數(shù)特解。33 16 利用歐拉公式 （教材中沒有提到它，現(xiàn)列于此供欣賞） s i nc os ??? ie i ??可以把兩個特解改寫為xixxr eee ???1 xiexe xx ?? ?? s i nc os ??xixxr eee ?? ??2 xiexe xx ?? ?? s i nc os ??然后，很容易驗證,c os1 xey x ??? xey x ?? s i n2 ?都是原方程 0?????? qyypy 的解。（即把 xey x ?? co s1 ? 和 xey x ?? s in2 ? 分別代入到方程中，是滿足的。這里不再計算。） 又因為 kxxs i xexeyyxx??? ?????c otc os21 （常數(shù)），所以 xey x ?? co s1 ? 和 xey x ?? s in2 ? 是線性無關(guān)的。33 17 最后，我們得到如下的通解 )s i ncos(* 21 xcxcey x ??? ?? 【例 3 】 求 0134 ?????? yyy 的通解。 【解】 特征方程 01342 ??? rr其根 2 1344422,1????r = i32 ?（得到兩個特解為 xey x 3c os21 ? 和 xey x 3s i n22 ? 。）所求通解為 )3s i n3c os(* 212 xcxcey x ??33 18 小結(jié) 求方程 0?????? qyypy 通解的步驟： 第一步 ，寫出特征方程 02 ??? qprr 第二步 ，求出特征方程的根。分三種情況： （ 1 ）不等實根 （判別數(shù) 042 ???? qp ） 2 421qppr ???? ， 2422qppr ????則得到兩個特解,11 xrey ? xrey 22 ?通解為 xrxr ececy21 21* ??33 19 （ 2 ）重根 （判別數(shù) 042 ???? qp ） 特征方程僅有一個實根 21 pr ??兩個線性無關(guān)的特解為,2 1 xpey ?? xpxey 2 2 ??通解為xpexccy 2 21 )(* ???33 20 （ 3 ）共軛復(fù)根 （判別數(shù) 042 ???? qp ） 特征方程的兩個根為,1 ?? ir ?? ?? ir ??2 其中 ,2p??? 24 2pq ??? 兩特解為,c os1 xey x ??? xey x ?? s i n2 ? 通解為)s i nc os(* 21 xcxcey x ??? ??33 21 （二）二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一般形式為 )( xfqyypy ?????? ①與其對應(yīng)的齊次方程是 0?????? qyypy ② 【定理 】 如果 ~y 是非齊次方程 ① 的特解，而 *y 是對應(yīng)齊次方程 ② 的通解，則和式 *~ yyy ?? 是非齊次方程 ① 的通解。 【證】 因為 ~y 是非齊次方程 ① 的特解，所以有)(~~~ xfyqypy ?????? 又因為 *y 是對應(yīng)齊次方程 ② 的通解，所以有0*)*()*( ?????? qyypy33 22 把 *~ yyy ?? 代入方程 ① 的左邊，得*)~()*~()*~( yyqyypyyqyypy ?????????????? yqypy ~~~ ?????? *)*()*( qyypy ??????0)( ?? xf )(xf?這證明了 *~ yyy ?? 是非齊次方程 ① 的解。又因為齊次方程 ① 的通解 *y 中含有兩個任意常數(shù)，所以 *~ yyy ?? 也是非齊次方程 ① 的解。（證完） 由這個定理可知，求非齊次方程 ① 的通解，歸結(jié)為求它的一個特解 ~y 及對應(yīng)的齊次方程 ② 的通解 *y ，然后取和式 *~ yyy ?? ，即求得非齊次方程 ① 的通解。 因此，我們需要討論如何求得非齊次方程 ① 的特解。33 23 對于某些特別簡單的二階常系數(shù)線性非齊次方程，其特解可以通過觀察法看出來。 【例 1 】 （ 3 8 8 頁） 求非齊次方程 xyy 5????? 的通解。 【解】 對應(yīng)齊次方程 0???? yy 的特征方程為012 ??r其根為 12,1 ??
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